凸函数的性质及应用 毕业论文

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1、摘要本文首先提出了凸函数的几种等价定义并说明凸函数的几何意义，接着探讨了凸函数的几条定理及其在经济学中的应用，比如最优化应用及风险态度应用，以及函数的凸性在有关经济学问题中发挥的作用，并从数学的角度详细说明了经济学教材中一些结论的来源，如对经济曲线的分析.关键字：凸函数；曲线分析；最优化；风险态度目录1.引言12.凸函数的定义及几何意义12.1凸函数的几种定义12.2凸函数的几何意义：33.凸函数的判定定理34.函数凸性在经济学中的应用74.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用74.2凸函数在经济优化中的应用114.3凸函数在风险态度中的应用145.总结17参考文献181.引言凸函

2、数是一个十分重要的函数，它的定义最早是由Jensen给出.凸函数具有较好的几何和代数性质,它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式等方面都有广泛的应用.利用函数凸性分析经济问题是在十九世纪五十年代以后随着数学规划、最优控制论、数理经济学等应用学科的兴起而发展起来的.经济学中所涉及的函数大多数都有一定的凸性，从而凸函数在经济学中的最优化问题的研究成为了当今的一大热点.人们经常用它来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以发挥最大的经济效益.2.凸函数的定义及几何意义2.1凸函数的几种定义定义1:设函数在区间上有定义，从几何上来看，若的图像上任意两点和之间的曲线段总

3、位于连接这两点的线段之下（上），则称该函数是凸（凹）.参见图1.定义2：设函数在开区间上有定义，若17有则称在区间是下凸函数或简称函数在区间是凸的.若记，则.由的凸性可知：从而有即，整理后可得这就是凸函数的另一种定义.定义3：在区间上有定义且连续，称为上的凸函数，如果,有将“”改为“”，函数便成为严格凸函数.定义4：在区间上有定义且连续,称为上的凸函数，如果，有.172.2凸函数的几何意义：当时，点表示了区间中的某一点，即.在下图中弦的方程是：将代入上式得：图1但因此不等式（1）在几何上表示为也就是说，曲线在弦下方，呈现为下凸的形状，而上凸函数的图象则呈现为上凸的形状.（图1）凸

4、函数除了上面的定义以外，还可以给出连续函数在区间上为凸函数的等价性定义.如下所示：3.凸函数的判定定理定理1设函数在开区间上可导，函数在区间上是凸函数当且仅当.17证明：根据中值定理对一切及必存在使得：又由凸函数定义得在上是凸函数.任取满足.我们来证明：及在区间上严格增加，设从中存在数使得，根据的严格下凸条件得：即上式表明的函数在严格增加.由此可见记起并以此类推可得在严格增加..定理2设在开区间上可导，则下述论断相互等价：1）为上凸函数；2）为上的增函数；3）对上的任意两点，有17（3）证明:若在是凸函数，则由定理1有在上单调增加有同理可证明当时也有若有令则对有：对有：从而：即在

5、是凸函数.定理3如果函数在上有存在二阶导函数,若对，有，则函数在上是一个凸函数.证明：在区间内任取两点，令函数在的泰勒公式是17当时：当时有即于是或，因此内是凸函数.定理4（极值的第二充分条件）设在点的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，.1）若，则在取得极大值.2）若，则在取得极小值.证明：1）由于，故存在一个的邻域，在此邻域内有：当时，有，则必须大于0，即17因此在的左邻域内单调递增，即当时，同理可知道在的右邻域内递减，有故当时，有在取得极大值.同理可证2）.4.函数凸性在经济学中的应用4.1凸函数在经济函数曲线分析中的应用4.1.1无差异曲线的凸性分析无差异曲线用来表示消费

6、者偏好相同的两种商品的所有组合.如下图所示，横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量，曲线、分别表示两条不同商品组合的无差异曲线.曲线是连续的，并在轴上的具有二阶导数，二阶导数又是大于零的，所以无差异曲线是凸函数.从上图可以明显地看出，17无差异曲线的斜率为负值,而且无差异曲线斜率的绝对值是递减的.商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线具有这样的特征.下面介绍一下边际替代率递减规律.商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：式中和分别表示为商品1和商品2的变化量.当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：从上式可以看出，无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲

7、线在该点上的斜率的绝对值.利用上图来具体说明商品的边际替代率递减规律和无差异曲线形状之间的关系.在图中，当消费者沿着既定的无差异曲线由点运动到点时，商品1的增加量为10，相应的商品2的减少量为20.这两个变量的比值的绝对值为.在图中，由于无差异曲线是凸函数，并且斜率是负的，这就保证了当商品1的数量一单位一单位地逐步增加时，即由点经、、运动到17的过程中，每增加一单位的商品1所需放弃的商品2的数量是递减的，也就是说两个变量的比值的绝对值是逐渐减小的.这就是在两商品的代替过程中普遍存