凸函数的性质及应用(0907142王波波)

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1、目录1引言22凸函数的定义及性质22.1凸函数的几种不同定义及其关联22.2凸函数的判定定理及证明42.3凸函数的性质53凸函数的应用63.1詹森不等式及应用63.2凸函数在微分学的应用83.3凸函数在积分学的应用9结论11参考文献11凸函数的性质及应用王波波，数学计算机科学学院扌商要：凸函数是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重要的作用•在本文中，我们分析总结了凸函数的性质及相关定理•最后用凸函数方法和詹森不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些讨论.关键i司：凸函数;方法；不等式；推论Properties

2、ofConvexFunctionandItsApplicationWangbobo,CollegeofMathematicandComputerScienceAbstract：Convexfunctionisabasiccontentofhighermaths.ltplaysanimportantroleinprovingmorecomplexinequality.Inthispaper，wesummarizedsomepropertiesandtheoremofconvexfunction.Andfinallyweprovedsomei

3、mportantinequalityusingthemethodofConvexfunctionandJenseninequalityofconvexfunctionanddiscussedsomeconclusion.Keywords：Convexfunction;Method;Inequality;Inference1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、黎曼集合、最优化理论等当中•常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上

4、方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。在本文证，我们试就凸函数的性质、等价定义和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨.2凸函数的定义及性质2.1凸函数的几种性质及其联系函数/（x）=x2图象的特点是：曲线y=x2上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们可以这样定义：设函数/G）在区间肚引上有定义，若曲线y=/（x）±任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数/（兀）是凸函数.以上的定义只是对凸函数作了直观的描述，下面我们给出精确的定义.定义』设函数/（X）在

5、区间he］上有定义，若对［°,引上任意两点兀“2和正数（0,1）,总有/［心4-（1-A）x2］<〃（州）+（1-A）/（X2）・成立，则称/（兀）为区间肚引上的凸函数;若上式仅不等号成立，则称函数/（兀）为区间be］上的严格凸函数.定义2〔2］设/（兀）在区间［a,b］上有定义,Vxpx2,x3g［a.b］,且x{

6、x2）>0.1兀3/（^）成立，则/（X）为［恥］上的凸函数.以上定义1,定义2,定义3等价.证明只需证定义1=>定义2=>定义3=>定义1即可.（定义1=>定义2）令2=玉二乞，则ovQvl,且1一兄二邑二勺可一兀

7、兀3一西由定义1知/［加］+（1-A）x3］<〃（兀J+（1-2）f（x3）.故/（x2）

8、）-/（西）两式合并，即得定义2.（定义2=定义3）由定义2知/（兀2）一/（坷）v/（兀3）一/（西）x2一X］x3-X］而x}

9、b9取定Ag（0,1）,令x2=Ax}+（1-久）兀3,显然有X）

10、/（西）1兀2/（兀2）»°・1兀3/（尽）/[加1+(1-A)x3]<〃(西)+(1-A)/