凸函数的性质与应用【文献综述】

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1、凸函数的性质与应用凸函数是数学分析中一类非常重要的函数，它不仅在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支(如全局优化，运筹学等)中具有重要的应用，在具体的数学学科学习中也有重要的应用.我们在华东师范大学数学系编的数学分析书上册的第六章第五节学习了凸函数的有关定义和性质.在该书屮对凸函数的定义叙述为：定义1［1］设f为定义在区间1上的函数，若对I上的任意两点xpx2和任意实数Ae(0,1)总有：/(A^+d-2)x2)

2、凸函数的定义和相关引理,我们可以得出关于二阶可导凸函数的一个重要的充要条件：定理21］设f为区间I上的二阶可导函数，则在T上f力凸函数的充要条件是：f(x)>0,%GI.从凸函数的定义，图像,充要条件上，我们可以看到凸函数有其本身的特殊性和直观性,而这些性质对于证明某些较复杂的不等式，解答高中里的数学题目均有很大的帮助.国内外现状与研究方向：由于凸函数在数学上的广泛应用，国P、j外越来越多的学者专注于对凸函数各个方面的研究.首先，在凸函数的众多研究课题当屮,对其基本定义和性质的研究最为广泛和普遍.研宄的主要

3、内界包拈凸函数及对其概念的理解，等价定义,判别法,它的线形性［平东师范大学.数学分析上册(第三版)就对凸函数的概念和定义作了详细的说明］.除了对凸函数原有性质的研宂之外,对其新性质的研究也使研究者们趋之若鹜.目前越来越多的学者专注于凸函数的若干新性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划屮的应用，寻找求解线性与非线性不等式组的新方法.其次,在对凸函数的定义和性质有了充分研究的前提下，研宄者们更加关注对凸函数的应用的研究.例如研宂其与不等式证明有关的下凸函数的性质［邱忠文,刘瑞金.函数的凹凸性及不等式的证明;王

4、新奇.利用函数的凹凸性证明一类三角不等式］;利用Jenven不等式证明当n取任意自然数时该性质的推广;在不等式中的应用［于靖.利用曲线的凹凸性证明柯丙不等式h凸函数与极值，导数的一些关系［裴礼文.数学分析屮的典型问题与方法;孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和方法］;判断函数极值点与拐点等应用.凸函数在商屮数学屮的研宄也是一大亮点：由于凸函数是一类象形函数，在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念，但因其性质具有明显的直观性，可以考查学生的观察能力和知识迁移能力，又可考查函数的各种性质，还能使平淡的题目增

5、色，所以近年來已受高考命题人的青睐.初等函数基本都是凸函数，研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用［方良秋.高考题中凸函数的题型及应用］.最后，随着凸函数的A性在数学，物理学，经济学,管理学,最优化理论等领域的广泛应用，对凸函数的凸性的进一步研宂己成为众多学者密切关注的一个焦点，而巾凸集和凸函数拓展延伸而产生的各类凸集和凸函数的不断出现，不仅极大地丰富了凸分析理论，而且有力地推动了数学科学的发展，特别是对数学规划，控制论,最优化等领域的发展起到巨大的作用，也引起了众多学者的密切关注和极大兴趣［钟伟,周彬林.凸

6、函数的儿种不同定义及应用］.进展1青况：一开始时，凸函数的重要作用被认为是在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如企局优化，运筹学等）中的应用.但随着对A函数横向和纵向研宂的逐渐深入，研宂者们越來越意识到凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命题的讨论证明和应川.例如由重庆师范大学罗超群学者所写的《凸函数在分析中的初探》就详细得探讨了凸函数的线形性和凸函数与极值，倒数的一些关系;由中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时贞军学者和曲阜师范大学运筹与管理学院岳丽学者所写的《凸函数的若

7、干新性质及应用》则详细讨论凸函数的性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用，为线性与非线性不等式组，线性规划的求解提供了一种新方法;由井冈山职业技术学院的晏忠红学者所写的《凸函数的应川》则对川凸函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式作出了讨论;由湖南省汨罗市第二中学的刘正良和宋加文老师则在《凸函数理论及应用策略》中描述了凸函数在初高中数学学科中的具体应用.总之，学者们对凸函数各方而的研宄是趋之若鹜，使得凸函数在各方而的应用也越来越深入.存在问题：现阶段关于凸函数主要存在三个方而的问题：（1）

8、在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念却往往被忽视.在一些工科类的微积分教材中，对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线（或割线）的上下位置关系来描述.（2）对二元凸函数的性质研究较少.（3）[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21]对于凸函数的定义和基本性质的介绍比较分散，跨度大.参