凹凸函数的性质

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1、凹凸函数的性质1营山中学四川营山6377002营山骆市中学四川营山638150摘要：若函数f(x)为凹函数，则若函数f(x)为凸函数，则从而使一些重要不等式的证明更简明。中图分类号：文献标识号：文章编号：高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。凹函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函

2、数f(x)叫做凹函数。如图（一）凸函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）性质定理若函数f(x)是凹函数，则若函数f(x)是凸函数，则证明：若函数f(x)是凹函数，如下图4点P（）在f(x)上设过P点的切线方程为：y=ax+b则（1）∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方∴;;…;∴(2)由（1），（2）得若函数f(x)为凸函数，如下图点P（）在f(x)上设过P点的切线方程为：y=ax+b则（1）∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方∴;;…;4∴

3、(2)由（1），（2）得定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。均值不等式：（）证明：∵y=lgx是凸函数∴∴即（）高斯不等式：（）证明：∵(x>0)是凹函数∴即（）以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤证明：∵A、B、C为三角形三内角∴A+B+C=πA>0B>0C>0又∵y=sinx(0

4、证（k∈）证明：∵（k∈）为凹函数∴通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。4