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1、用泰勒公式研究函数凹凸性质的推广许志雄（湖南人文科技学院数学与应用数学系03级教育班湖南娄底417000）摘要:本文就泰勒公式研究函数凹凸性的推广进行了一些初步探素得出了一些有益的结论.凹凸函数有很多的特性,这些性质可广泛应用于不等式的证明及误差估计等方面.利用泰勒公式研究特殊函数,可得出一些结论.用这些结论可简便证明某些特殊不等式.关键词:泰勒公式,函数性质,不等式.一﹑引言泰勒公式:在近似计算和理论分析中,我们需要一个简单函数来近似的表示较复杂函数.下面我们就引出这个公式----泰勒公式.若f(x)在x=
2、0总有直到(n+1)阶的连续导数,那么F(x)=F(0)+(0)x+1/2!(0)x2+……+1/n!F(n)(0)xn+Rn(x)Rn(x)=1/2(n+1)!F(n+1)(е)xn+1(其中e在0与x之间)上式就是函数f(x)在x点附近的关于x=0的幂函数展开式叫泰勒公式.前面阐述的是f(x)在x=0点的泰勒公式,类似的推导有f(x)在点附近关于xo点的泰勒公式.F(x)=F(xo)+F(xo)(x-xo)+1/2(xo)(x-xo)2+…+1/n!F(n)(xo)(x-xo)n+Rn(x)Rn(x)=1
3、/(n+1)!F(n+1)(e)(x-xo)(n+1)(e在x与xo之间)泰勒公式是近似表式一个较复杂函数的有效工具.在研究函数凹凸性问题时,往往会遇到一些复杂函数的相关问题,接下来就利用泰勒公式的近似计算对函数凹凸性质进行推广.对某些函数凹凸性质加以归纳得出两个结论:结论1:设f(x)定义在(-∞,+∞)上具有连续二阶导数的函数.(1)当x在(-∞,+∞)上时,(x)>0的充要条件是对任意x1,x2在(-∞,+∞)上,都有F[(x1+x2)/2]<[F(x1)+F(x2)]/2成立.(1)当x在(-∞,+∞
4、)上时,(x)<0的充要条件是对任意x1,x2在(-∞,+∞)上,都有F[(x1+x2)/2]>[F(x1)+F(x2)]/2成立.结论2:设F(x)是定义在(-∞,+∞)上具有连续二阶导数的函数.(1)当x在(-∞,+∞)上时,(x)>0的充要条件是对任意x1,x2,…,xn在(-∞,+∞)上,都有F[(x1+x2+…+xn)/n]<[F(x1)+F(x2)+…+F(xn)]/n成立。(2)当x在(-∞,+∞)上时,(x)<0的充要条件是任意x1,x2在(-∞,+∞)上,都有F[(x1+x2+…+xn)/n
5、]》[F(x1)+F(x2)+…+F(xn)]/n成立。二﹑主要结论定理1:设F(x)是定义在(-∞,+∞)上具有连续二阶导数的函数.(1)当x在(-∞,+∞)上时,(x)>0的充要条件是对任意x1,x2,…,xnF[(t1x1+t2x2+…+tnxn)/(t1+t2+…+tn)]<[t1F(x1)+t2F(x2)+…+tnF(xn)]/(t1+t2+…+tn)(2)当x在(-∞,+∞)上时(x)<0的充要条件是对任意x1,x2,…,xn属于(-∞,+∞),t1,t2,…,tn(0,+∞),都有F[(t1x1
6、+t2x2+…+tnxn)/(t1+t2+…+tn)]>[t1F(x1)+t2F(x2)+…+tnF(xn)]/(t1+t2+…+tn)成立.证明:(1)必要性:令xo=(t1x1+t2x2+…+tnxn)/(t1+t2+…+tn)由泰勒公式得:F(x)=F(xo)+(xo)(x-xo)+(xo)(x-xo)2/2又(x)>0,即F(x)>F(xo)+F`(xo)(x-xo)+(xo)(x-xo)2/2(*)将(*)式两边同乘以tk(k从1到n)相加得:t1F(x1)+t2F(x2)+…+tnF(xn)>(t
7、1+t2+…+tn)F(xo)+F`(xo)[t1(x1-xo)+t2(x2-xo)+…+tn(xn-xo)]=(t1+t2+…+tn)F(xo)+F`(xo)[t1x1+t2x2+…+tnxn-(t1+t2+…+tn)xo]=(t1+t2+…+tn)F(xo)F[(t1x1+t2x2+…+tnxn)/(t1+t2+…+tn)]<[t1F(x1)+t2F(x2)+…+tnF(xn)]/(t1+t2+…+tn)成立.充分性:用反证法,若命题不真,即存在xo使得(xo)0成立.由于F(x)具有连续二阶导数,则存在
8、h>0,使当ĝ(xo-h,xo+h)时,有(ĝ)0.由于(xo-h,xo+h)是xo的邻域,故对任意x1,x2,…,xn(xo-h,xo+h)存在ti(i=1,2…n)使xo=(t1x1+t2x2+…+tnxn)/(t1+t2+…+tn)成立.由泰勒公式得F(x)=F(xo)(xo)(x-xo)+(xo)(x-xo)2/2F(xo)+(xo)(xk-xo)(k=1,2…n)将(*)式两边同乘以tk(
