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1、蒋晓玲凸函数的各种定义和它们的等价性凸函数的各种定义和它们的等价性【摘 要】：凸函数是基础数学中很重要的一类函数,为了加深对凸函数的认识,本文给出了凸函数的定义。，不同的教材对凸函数的定义形式各不相同，而各种定义之间有着内在的联系,在某些限制条件下,它们是等价的，因此本文也讨论了这些定义的等价性，并且就以凸函数几种定义的等价性给予证明．【关键词】：凸函数；定义；等价1引言凸函数是基础数学中很重要的一类函数,其理论基础由丹麦数学家J．Jensen在本世纪初奠定．在很多数学问题的分析与证明中,我们都要用到凸函
2、数,例如在数学分析、函数论等当中．函数的凸与凹反映在几何上是对应曲线（曲面）的弯曲方向,如图，称函数在上是凹函数，在上是凸函数。本文试着讨论凸函数的定义及它们的等价性．2凸函数的多种定义定义1设函数在上有定义,若曲线=上任意两点间的弧线总位于连接这两点的弦之上,则称是区间上的凸函数．定义2设函数在上连续,若对于则称是上的凸函数．2定义3在区间内定义的函数,如果对任意个点,有则称函数是内的凸函数．定义4设函数在上连续,若对于及,则称是上的凸函数．定义5设函数在上连续,在内可导,若对于中任意一点,当2且时,成
3、立则称是上的凸函数．定义6设函数在上连续,在内二阶可导,若当时则称是上的凸函数．定义7设函数在区间内有定义,成立则称为区间内的凸函数．定义8设函数在上有定义,若对任意满足的有则称是上的凸函数．定义9设函数在上有定义,且对于任意有成立,则称是区间上的凸函数．定义10设函数在上有定义,如果对于任意及,且,有成立,则称是内的凸函数．定义11设函数在区间内有定义,及,且2,有则称为区间内的凸函数．定义12设函数在上有定义,若对于一切,且不全为零,且,有则称是上的凸函数．定义13设函数在上有定义,若对于内任意两点及
4、与之间的任意一点,都有则称是上的凸函数．定义14设函数在区间内有定义,与皆存在,且有,都有则称为区间内的凸函数．定义15设函数在区间内有定义,在内存在单减函数,以及,使得,恒有d则称为区间内的凸函数．定义16设函数在区间内有定义,在内连续,,恒有2d则称为区间内的凸函数．2定义的等价性1）、证明定义1和定义9等价。证明：设是曲线上任意两点,过这两点的直线方程为曲线上的任意两点间的弧段总位于连接这两点的弦之上是公式的几何意义．故定义1和定义9是等价的．2）、用数学归纳法证明定义2与定义3等价．证明：当时,式
5、显然即为式．假设（为自然数）时,式成立．下证时,对等式成立．因此,式对（为自然数）时成立．下证式如果对成立,则对也成立．设是内任意点2整理得总之,式对任意的自然数都成立．故定义2和定义3是等价的．3）、证明定义4和定义9等价。证明：过曲线上的点的直线段的参数方程为,为内任一点,将及上式代入式即得式,代入式即得式．故定义4和定义9是等价的．4）、证明定义8和定义9等价。证明：由定义8和定义9得到有定义8推定义9．当时,由式知,即整理得即得式．上述过程可逆,即定义9推定义8．故定义8和定义9是等价的．5）、证
6、明定义10和定义11等价。证明：时,式即为式,显然成立．假设时,式成立,即对2,有证明时式成立．即对有取,则有利用式及式得即时结论成立．故定义10和定义11是等价的．6）、证明定义11和定义12等价。证明：在式中,设,则得式．已知,所以2即式成立．故定义11和定义12等价的．7）、证明定义8和定义13等价。证明：公式展开整理就得到公式。故定义8和定义13是等价的.22
