上下极限的等价性定义及应用

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1、上、下极限的等价性定义及其应用摘要数列上、下极限的概念，是数学分析中的两个重要概念．在不同版本的数学分析教材中，往往以不同形式给出其定义．关于数列上、下极限的概念，常用的表示方法有三种（文中的定义1、2、3）．除此之外，本文又给出了两种定义方式（文中的定义4、5）．接着利用实数完备性和极限理论知识，如：聚点定理，闭区间套定理，数列极限的定义以及收敛数列的性质等，严格论证了这五种定义的等价性．在此基础上又探讨了数列上、下极限的一些性质，并给出了其证明过程．其次，借助上、下极限的定义及性质，给出了有关上、下极限的若干命题．最后，举例说明了上、下极限在极限运算及数列与级数论中的应用．关键词：上极限

2、，下极限，聚点，上确界AbouttheEquivalenceoftheDefinitionsofSuperiorLimitandInferiorLimitandItsapplicationsYuLi(SchoolofMathematicalScience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,235000)AbstractTheconceptofthesuperiorandinferiorlimitonsequenceistwoimportantconceptsinmathematicalanalysis．Indifferentversionsoftextbooks

3、ofmathematicalanalysis，oftengivedifferentformsofitsdefinition．Onthesequenceofthesuperiorandinferiorlimitoftheconcept，therearethreecommonlyusedmethods(thedefinitionofpaper1、2、3)．Inaddition，thisarticlegivestwodefinitions(thedefinitionofarticle4、5)．Byusingofknowledgeofcompletenessofrealandlimittheory，

4、suchas：theoremofthepointofaccumulation，theoremofnestedinterval，definitionsofsequencelimitandthepropertiesofconvergencesequence，thisarticlestrictlyproofstheequivalenceofthefivedefinitions．Onthesebases，wediscusssomepropertiesofthesuperiorandinferiorlimit，andgivetheproof．Secondly，usingthedefinitionsan

5、dpropertiesofthesuperiorandinferiorlimit，wegivesomepropositionsaboutthesuperiorandinferiorlimit．Finally，thispapergivesexamplestoillustratetheapplicationoftheoperationoflimitandthetheoryofseriesofthesuperiorandinferiorlimit．Keywords:superiorlimit，inferiorlimit，accumulation，leastupperbound目录引言…………………

6、………………………………………………………………1一、上、下极限的定义……………………………………………………………1（一）上、下极限的5种定义……………………………………………………1（二）上、下极限定义的等价性证明……………………………………………2二、上、下极限的相关应用………………………………………………………5（一）上、下极限的性质…………………………………………………………5（二）有关上、下极限的若干命题………………………………………………8（三）上、下极限在极限教学中的作用………………………………………121．上、下极限在极限运算中的作用…………………………………………122．

7、上、下极限在数列与级数论中的作用……………………………………13结论…………………………………………………………………………………14参考文献……………………………………………………………………………14致谢…………………………………………………………………………………15引言一个有界数列不一定有极限，但它却有上极限和下极限.数列的上、下极限是极限概念的自然推广，它是本科教学和学生学习的难点问题.由于目前普遍