以下几种叙述与极限的定义是否等价

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1、练习题2.11.以下几种叙述与极限的定义是否等价，并说明理由：（1）；答等价。（1）的叙述与极限的定义不同的地方仅是两个不等式与都带有等号。因为正数具有任意性，且与N的大小无关，所以，有，有。于是，它与极限定义等价。（2）；答等价。因为使，从而，所以。于是，它与极限定义等价。（3）有无限多个，对每个，有；答不等价。因为“无限个”不一定能保证任意小。例如，无限个，不能任意小，所以“无限个”不等价与“”。于是，它与极限定义不等价。（4）有无限多个，有；答不等价。因为对有无限多个，即“对无限多个n，有”与“有”不等价。例如，数列的无限多个偶数项，即，有，但是数列却不存在极限。于是，它

2、与极限定义不等价。（5），只有有限个，位于区间之外.答等价。因为。设数列有项（有限项）：不属于开区间，设。从而，，有，所以，它等价于，有，即（2）的叙述。于是，它与极限定义不等价。3.证明下列极限：（1）.证明，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，有，即。（2）.证明，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，，有，即。（3）.证明，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，，有，即。（4）.证明，要使不等式成立。解得。取。于是，，有，即。（5）.证明，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，，有，即。4.证明：证明由牛顿二项式定理，有，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，

3、，有，即。类似地，对，用不等式；，用不等式。同法可证。5.证明：（1）。证明已知有。用反证法假设，设。，矛盾。于是，。（2）。证明。用反证法假设，有，与已知矛盾。于是，。本题表明：的任意性可使不等式与等式等价，也可使不等式与等价。在数学分析中，欲证明（或）（它们常常与极限有关）时，只须证明，有（或）即可。*****6.证明：，其中.证明因为是常数，所以存在唯一常数，使，从而。根据二项式定理，有.，，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，，有，即。类似地，可证。7.证明：若，则.证明分两种情况：当时，显然得证。当时，已知，即有。而，从而，利用立方差公式可得，于是，有，即。8.证

4、明下列极限：（1）.证明，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，有，即。（2）.证明，有不等式即从而，，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，有，即。（3）.证明已知有.当时，分别有.将上述个不等式左右两边分别相乘，得，从而。于是，，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，有，即。（4）证明。，要使不等式成立。从不等式解得。取。于是，有，即。10.证明：数列的极限不是0.证明，有，即数列的极限不是0。11.证明：数列发散.证明，当时，，有。当时，，有。于是，数列发散。练习题2.22.证明：若，则.逆命题是否成立？证明已知，即有。从而有，即。反之不成立。例如，数列。有，即是常

5、数数列，有，但是数列却发散。3.证明：若，则，其中是固定的正整数.证明已知，即有，从而有，即。4.证明：若，则.证明已知，即有。又已知数列有界，即，有。于是，，有，即。5.证明：若数列有界，且，则.证明已知数列有界，且，即，有。有。于是，，即。6.用极限定义证明：若，则，有.证明：已知，且，由数列极限定义：取定，有，从而有。7.证明：若则.证明已知，有。，有。，有。，有。又已知，根据两边夹定理，有，即。8.证明：若，且，则.证明已知，，有。根据极限保序性，有或。已知。根据两边夹定理，有。9.证明：若，且，则.证明已知，，有。根据极限保序性，有或。当，有。（）当，有。当，有。当，

6、有。已知。根据两边夹定理，有，即　。11.求下列极限：解　（１）。（２）。（３）。（４）。（６）　设　，有　　　　.于是，　　　　　　　　.而，根据两边夹定理，有　　　　　　　　　　　。（７）　设　　　　　。或　　　　。于是，　　　　　。（8）所以。（9）。（10）。12.证明：，其中.证明设，则.已知。根据两边夹定理的推论，有，即。13.证明：.证明，有.已知与。根据两边夹定理，有。14.证明：若，则数列收敛，并求其极限.证明已知，设，则。于是，，有，则或，即数列严格增加。根据连续性公理，数列收敛。设。对等式两端取极限，有，解得。于是，。15.证明：若，则数列收敛，并求其极限

7、.证明由几何平均数不超过算术平均数，，有，即数列有下界。又有。设。对等式两端取极限，有，解得。于是，。17.证明：若数列单调增加，且有一个子数列收敛，则数列也收敛，且收敛于同一极限.证明设，即。取，又已知数列单调增加，则使。于是，有，即。*****18.证明：若，则数列与都存在极限且它们的极限相等.证法由几何平均数不超过算术平均数，有，可证数列单调增加有上界，数列单调减少有下界。由连续性公理，数列与都收敛。取极限，再证它们的极限相等。19．证明：若，则数列存在极限，其极限为欧拉常数，.证明，