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1、第’’卷!第’期湖!北!农!学!院!学!报’""’年#月2341’’!531’63789/43:;7<=>.?8>@74A78/4B344=?=.C81’""’!!文章编号!!""#$%&&&!’""’""’$"!)"$"%用极限定义证明极限的几种方法"郑文杰!湖北民族学院预科部#湖北恩施##+""""!!摘!要!在微积分中!极限是最重要的概念之一!而且微分"积分"级数等概念都是由极限来定义的#因此!掌握好用极限定义证明部分极限问题的方法大有必要!从极限定义证明极限的方法的特点加以分析!可归纳总结出放大法"乘方法"取点法"夹逼法
2、和反证法等+种方法#关键词!极限$定义$证明方法中图分类号!S!)’!!!!!文献标识码!.A’’’’+的形式#然后在放大化简的不等式的!!极限的定义基础上再讨论极限证明问题&此类方法主要取决定义!!设$M&%是一个数列#"是一个确定于绝对值不等式放大的程度#放大放小都不易得的数#若对任给的正数+#总存在某一个自然数出结果#只有适度放大才能使解题化繁为简&在F#使得当&(F时#都有M&T"’+#则称数列各类型的极限证明中此类方法较常见&$M&%收敛于"#"称为它的极限&并记作4>0M&&(!)&9[例!!证明4>0:0S!#其中
3、0(!&9[S"K!证*令0&T!I,#则,("#由伯努利不等式推定义’!设,!?"为定义在!T[#U["上的得函数#"是一个定数#若对任给正数+#总存在正!&!!0S!!J,"&!J&,S!J&!0&T!"或数M#使得适合?(M的一切?对应的函数值!0T!,!?"恒有不等式,!?"T"’+#成立则常数"!!!0&T!/&就叫函数=S,!?"#当?9[时的极限#记作4>0,?9[0T!对1+("#总;F!取FS()"#则当&(!?"S"+定义%!设,!?"在点?的某个空心领域内!!"F时#就有0&T!’+#即0&T!’+有定义#
4、如果1+("#总存在(("#对于适合不等&!!4>0:0S!!!0(!"式"’?T?的一切?所对应的函数值恒&9["’(’K’!乘方法有不等式,!?"T"’+成立#则常数"就叫做乘方法主要是针对带根号的函数极限证明问函数=S,!?"#当?9?"时的极限#记作4>0,!?"?9?"题#并且其中变量?一般是趋近于"#对于此类极S"限问题首先必须将函数中根号通过乘方去掉#然’!用极限定义证明极限问题的方法后再按极限定义证明的方法讨论该极限问题&+例’!证明4>0:?S"’K!!放大法?9"证明*对1+("#要使放大法是将定义中的绝对
5、值不等式++M&T"’+或,!?"T"’+适当放大#转化为!!:?T"S:?’+成立#只需+M&T"’<’&’’’’+或,!?"T"’0’!!?S?T"’+"收稿日期!’""!$!’$!)作者简介!郑文杰!!()"$"#男#湖北咸宁市人#湖北民族学院预科部讲师1第’期!!!!!!!!!!!!!!!郑文杰#用极限定义证明极限的几种方法!)!取(S++!当"’?T"’(S++时!则&&证明#当&(!时!:&(!!记0&S:&S!J3&+!!:?T"’+成立"$3&("%!则有+!!4>0:?S"&S!J&3&$&T!%’?9"!!
6、&S$!J3&%&U3&U’’K%!取点法取点法一般先在变量?的变化范围内先取++U3&&$&T!%3’&&&’定一个或几个不同的值!再在取定的值的范围内’讨论该极限问题!然后将所得结果和原先取定的!!"/3&/:&T!?的变化范围相比较!最后取?的最大值或最小’于是有!/0值而得到所要证明的结果"&S!J3&/!J:&T!例%!求证4>0’?S#?9T’’下证4>0$!J%S!证#因为?9T’!所以不妨设?T$T’%S&9[:&T!?U’’!!从而有?T’’+!!1+("!要使于是?’T#S?T’&?U’’+’’!!!JT!S
7、’+?U’’+:&T!:&T!因此!1+("!要使?’T#’+!只要’即&(’U!++?U’’!又?U’’!+’取FS)’U!*!当&(F时!就有++即只要取(S0>9’!!(+’!JT!’+成立"当"’?U’’(时!?’:&T!T#’+成立!故’4>0?S#’?9T’4>0!JS!&9[:&T!注#在此题中!先取定?U’’!!其实已取再由夹逼定理!可得定了?的某一个变化范围!在这个范围内先讨论&该极限的证明问题!然后将所得结果和原先取定!!4>0:&S!&9[的?变化范围$即?U’’!%相比较!取最小值’K+!反证法则该极限
8、问题得证"反正法主要是为了解决数列不收敛,,,即发’K#!夹逼法散的问题!但它的根本方法也是利用极限定义!掌夹逼法通常是将要证明的极限问题构造成夹握好此类方法!不仅对初学者学好极限大有益处!逼不等式的形式!然后利用已证明的极限和夹逼而且从另一个侧面也加深了我们对
