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1、第16卷第4期沈阳大学学报Vol116,No.42004年8月JOURNALOFSHENYANGUNIVERSITYAug.2004文章编号:100829225(2004)0420085203如何用数列极限定义证明数列极限问题罗威(沈阳化工学院计算机科学与技术学院,辽宁沈阳110142)摘要:以数列极限为例,详细阐述了用极限定义证明极限存在的三种常用的方法:基本方法、适当放大法、条件放大法,以及在应用这些方法时应注意的一些主要问题,从而强化对极限概念的理解·关键词:数学分析;极限;放大法中图分类号:O14112文献标识码:A极限概念是《数
2、学分析》课中一个重要的概实质的理解仍然模糊不清·念,是贯穿整个数学分析内容的主线·它是这门课首先将数列极限ε2N定义叙述如下:程的基本推理工具,是研究微分学和积分学的必liman=aZPε>0,vN∈N+,Pn>N,n→∞备工具·在《数学分析》教学中它既是一个重点,也[4]有
3、an-a
4、<ε·是一个难点·由上面定义可以看到,用定义证明数列极限极限概念最初产生于求曲边形的面积与求曲[1]存在的关键是:对Pε>0,都能找到一个正整数线在某一点处的切线斜率这样两个基本问题·N,当n>N时,有
5、an-a
6、<ε成立·这里的Pε我国古代数学家刘徽(公
7、元3世纪)利用圆内接正>0,由证题者自己给出·因此,关键是找出N·那六边形的面积来推算圆面积的方法割圆术,[2]么,如何寻找N呢?显然,要寻找的N,一定要满就是极限思想在几何上的应用·对数列极限的足当n>N时,有
8、an-a
9、<ε成立·而
10、an-a
11、定性描述是通过“无限增大”和“无限趋近”这一朴可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过素的语言来给出的,但其在数学上却无法进行严求解不等式
12、an-a
13、<ε,找到使
14、an-a
15、<ε成谨的论证·因此须将数列极限的定性描述上升到立,n所要满足的条件,亦即不等式
16、an-a
17、<ε精确的定量描述,也就是极
18、限的ε2N(δ)定义·极的解集·该解集是自然数集N的无限子集·对同限ε2N(δ)语言定义是由被数学界誉为“现代分析一个ε,N并不惟一,因此,只需在该解集找出一之父”的德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)[3]个作为N即可·这样寻找N的工作就转化成求于19世纪中叶首创的·它是极限理论的精髓,解不等式
19、an-a
20、<ε的问题了·下面介绍几种常不能被其他方法所取代·但是,长期以来的教学实用的方法·践表明,对于初学者,极限的ε2N(δ)概念很抽象·学生对用数学语言来表述数列极限的“两个无限”1基本方法(即定量定义),难以理解和掌握·对一
21、些较为简单的极限问题,可以通过直接用数列极限定义证明数列极限的方法是加强求解不等式
22、an-a
23、<ε得出N,其步骤如下:对数列极限概念理解的较好途径·但我们在教学第一步:Pε>0,求出使
24、an-a
25、<ε成立的中看到,学生在运用数列极限定义证明极限存在n所要满足的条件寻找N;时常常感到非常困难,这是由于学生对极限ε2N第二步:取出N·语言定义中的“任意”“、存在N”、“使得
26、an-a
27、n<ε”等术语及它们之间的关系了解得不够深刻、例1·试证:lim=1·n→∞n+1透彻,对由
28、an-a
29、<ε找N的方法不能真正理n证法:本题可直接解不等式-1<
30、ε解和把握,有时虽然能完成证明,但是对极限定义n+1收稿日期:2004206215作者简介:罗威(1967-),男,辽宁沈阳人,沈阳化工学院高级工程师·86沈阳大学学报第16卷求N·nn1即n=1+zn·从而,有n=(1+zn)=1+cnzn+证明:对Pε>0,由不等式n-1=22nnn(n-1)2n+1Cnzn+⋯+Cnzn>1+2zn·即n>1+11n(n-1)22n+1<ε成立,解得n>ε-1,可取N=zn,或2(n-1)>n(n-1)zn,解得zn211-1+1·于是,对Pε>0,vN=-1+1,2εεN时,有-1
31、<ε,即lim=1·于是,对Pn,有n2(适当n+1n→∞n+1n-1=zn0,要想使n-1<ε成立,只需在多数情况下,不等式an-a<ε并不总是222可以直接解出来的·由于极限定义中N并不惟一,n<ε,解得n>ε2·取N=ε2+1·于是,对并且定义强调的是N的存在性,而不是N的具体2nPε>0,vN=2+1,当n>N,有n-1<数值·因此可将an-a适当地放大为g(n)·当nεn>N时,能够使g(n)<ε成立,当然,也会使ε,即limn=1·n→∞an-a<ε成立·这样,就可以通过g(n
32、)<ε寻3条件放大法找N·这其中,要求在形式上g(n)较an-a更为简单,且不等式g(n)<ε亦较an-a<ε易解·在对an-a进行放大时,有时需要对n加具体步骤如下:以限制,这就是所谓条件放
