数列极限的定义

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1、一、数列极限的定义割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积数列的概念定义:如果按照某一法则,对每个,对应着一个确定的实数,这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列就叫做数列,简记为数列.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项.例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.数列的极限观

2、察数列当时的变化趋势.注意：如果数列没有极限,就说数列是发散的.1.ε具有任意给定性，它是描述与的无限接近程度.2.N与ε有关，且不唯一.函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质1、自变量趋于有限值时函数的极限或定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ,使得当x满足不等式0<

3、x－x0

4、<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式，

5、f(x)－A

6、<ε那末常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作注1）语言表述当时有则一、函数极限的定义2）表示时有无极限与有无定义没有关系.3）任意给定后，才能找到，依赖于

7、，且越小，越小.4）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.几何意义如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。例1证明(C为常数)证当时,成立,例2证明证取当时,成立,证函数在点x=1处没有定义.例3证明要使只要取当时,就有证例4当时,要使取当时,就有只要且不取负值.结论:函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限与右极限均存在且相等，即左极限和右极限当自变量x从x0的

8、左(或右)侧趋于x0时，函数f(x)有极限A，则称A为函数f(x)当x→x0时的左(右)极限，记作或例5函数当时的极限不存在.证当时的左极限而右极限因为左极限和右极限存在但不相等,所以不存在.yOx-11小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等