数列极限的定义(I)

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1、一、数列极限的定义二、收敛数列的性质§1.2数列的极限一、数列极限的定义引例如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举

2、例:2,4,8,,2n,;1,-1,1,,(-1)n+1,.x1x5x4x3x2xn数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,,xn,.数列的几何意义数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.数列与函数数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2

3、,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,

4、xn-a

5、无限接近于0.当n无限增大时,

6、xn-a

7、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

8、xn-a

9、能小于事先给定的任意小的正数.分析因此,如果n增大到一定程度以后,

10、xn-a

11、能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无

12、限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.>>>数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式

13、xna

14、

15、xna

16、.aa-ea+e()数列极限的几何意义0,NN当nN时有

17、xna

18、.存在NN当n

19、当n>N时点xn全都落在邻域(a-e,a+e)内:任意给定a的e邻域(a-e,a+e),分析:要使只须即例1证明0,NN当nN时有

20、xna

21、.证明:因为0当nN时有所以分析:证明0,NN当nN时有

22、xna

23、.例2证明要使只须因为0当nN时有所以分析:例3设

24、q

25、<1,证明等比数列1,q,q2,,qn-1,的极限是0.对于0,要使

26、xn-0

27、=

28、qn-1-0

29、=

30、q

31、n-1log

32、q

33、e+1就可以了.

34、qn-1-0

35、=

36、q

37、n-1<

38、e,当nN时,有因为0,证明N=[log

39、q

40、e+1]N0,NN当nN时有

41、xna

42、.对于某一正数e0如果存在正整数N使得当nN时有

43、xna

44、e0是否有xna(n)讨论0,NN当nN时有

45、xna

46、.二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一按极限的定义,对于2ab-=e>0,存在充分大的正整数N,使当n>N时,同时有

47、xn-a

48、<2ab-=e及

49、xn-b

50、<2ab-=e,因此同时有2abxn+<及2abxn+>,这是不可能的.所以只能有

51、a=b.证明注:如果M0,使对nN有

52、xn

53、M,则称数列{xn}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列{xn}是无界的二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界>>>1如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?2数列1,1,1,1,,(1)N1,的有界性与收敛如何？讨论二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一定理2(收敛

54、数列的有界性)如果数列{