用定义证明数列极限存在的步骤.ppt

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1、德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所谓“艾宾浩斯遗忘曲线”时间记忆水平及时复习的遗忘曲线不能及时复习的遗忘曲线1第三节数列的极限数列极限定义极限的唯一性（定理1）收敛数列的有界性（定理2）收敛数列的保号性收敛数列与其子数列的关系（定理3）2一、定义与定理1.数列的有界性和单调性：例如：数列无界。总能找到使得(1)有界性:3(2)单调性:4定义：2.数列极限的定义引例割圆术5正确理解数列极限①的任意给定性。是任

2、意给定的正数，它是任意的，但一经给出，又可视为固定的，以便依来求出由于的任意性，所以定义中的不等式可以改为（M为任意正整数）；等等。②N的相应存在性。N依赖于，通常记作但N并不是唯一的，只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。③定义中“当时有”是指下标大于N的无穷多项都落在数的邻域内，即也就是说在邻域以外的只有数列的有限项，因此改变或增减数列的有限项不影响数列的收敛性。6….…...…....….….7定理1（极限的唯一性）3.有关数列收敛的性质矛盾！命题得证。8定理2

3、（收敛数列的有界性）无界数列必发散.注:有界数列不一定收敛.如数列：9子数列的概念:子数列的表示：10收敛数列与其子数列的关系:定理3证:注:其逆反定理用于证明数列的发散11问题：1.若2对于某一正数如果存在正整数N使得当nN时有

4、a

5、是否有a(n)3如果数列收敛那么数列一定有界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?4数列的子数列如果发散原数列是否发散?数列的两个子数列收敛但其极限不同原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？5如何判断数列1111

6、是发散的？12二、例题例1用定义（）证明证明只须：即取则当时，有所以注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法）①要使经一系列放大②解不等式得③取当时，有要使设，构造，放大13例2（记录）用定义证明这样的限制对数列极限的存在是否有影响？由于改变数列的有限项对数列的极限没有影响，所以在选择不等式放大时，可以对n值做一些限定。14注:①发散数列也可能有收敛的子数列．例3②证明数列发散时，可采用下列两种方法：I)找两个极限不相等的子数列；II)找一个发散的子数列。15例4证明数列设极限不存在。证设当时，即当

7、时，即极限不存在。所以（记录）16例5（06年考研题数学三）解：=1求例6（记录）已知求解：（k=1,2,3,…)17求解：从而记录18