证明数列n重根式的极限存在ppt课件.ppt

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1、第1章函数、极限与连续1.2.1.1数列极限性质1.2.2无穷大与无穷小1.2.3极限的四则运算1.2数列的极限7/28/20211北京师范大学数列的极限(86)6.数列极限的性质：(1)唯一性定理1每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,2数列的极限(86)(2)有界性有界;无界.故极限唯一。3数列的极限(86)定理2收敛数列必有界.证由定义,令4数列的极限(86)注意：有界性是数列收敛的必要条件.因此，无界数列必发散.例6证由定义,区间长度为1.5数列的极限(86)不可能同时位于长度为1的区间内.*证(3)保号性6数列的极限(86)7数列的极限(86)定理4(4)保序性8数列

2、的极限(86)注意：如，在子列中，一般项是第项，而在原数列中却是第项，显然，(5)子列的收敛性9数列的极限(86)引理收敛数列的任一子列收敛且极限相同．证设数列是数列的任一子数列.10数列的极限(86)1、无穷小极限为零的数列称之.1.2.2无穷小与无穷大11数列的极限(86)如，2、无穷大绝对值无限增大的数列称之.12数列的极限(86)定理5*证13数列的极限(86)反之，意义：将一般极限问题转化为无穷小问题.数列的无穷小常用等符号表示.14数列的极限(86)3.无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证15数列的极限(86)注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无

3、穷小.性质2有界数列与无穷小的乘积仍是无穷小.证16数列的极限(86)推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.17数列的极限(86)性质3无穷小比非零极限列仍为无穷小.证18数列的极限(86)证必要性充分性当时，为无穷小当时，19数列的极限(86)定理7～91.2.3极限的四则运算20数列的极限(86)证（3）21数列的极限(86)推论4推论5问题：22数列的极限(86)例7解当先变形再求极限.23数列的极限(86)例8解由于上式分母的极限为零，即因此，商的法则不可用，但原式的倒数有极限：24数列的极限(86)解所以例925数列的极限(86)解所以

4、，原式例1026数列的极限(86)1.夹逼准则1.2.4极限存在准则注意：27数列的极限(86)证则当时，28数列的极限(86)例11解由夹逼定理29数列的极限(86)例12解30数列的极限(86)例13解31数列的极限(86)2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:（证略）32证明数列（n重根式）的极限存在，并求此极限.数列的极限(86)例14证(舍去)则33数列的极限(86)证例1534数列的极限(86)类似地,35数列的极限(86)特记：36数列的极限(86)37数列的极限(86)根据准则II,数列收敛，设,38数列的极限(86)即，解此方程得因为，负根舍去，于

5、是39