数列极限的存在准则PPT

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1、2-03数列极限的存在准则数列极限的两大问题数列极限的存在性；（此问题为最关键的问题）数列的极限值是什么？（存在后，才想办法计算极限）最简单的思想是利用数列本身的特性证明数列极限的存在性!按照数列极限的定义证明;按照奇、偶子列的收敛性证明;依据任意子列的收敛性证明;利用夹逼准则证明。几种证明极限存在的方法：几何解释:单调增加单调减少单调数列准则I单调有界准则定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限证明曲边三角形面积A的计算1oxy我们通常的做法是：将区间[0，1]n等份，用小矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积。不足近似过剩近似关于e极限证明：的展开式中共有项，每一项为正数

2、。的展开式中共有项，每一项为正数。不难发现有：严格增加下面证明有上界：注意:第一种证法尽管过程略繁，但易于着手，处理问题平直、朴素,不失为证法之上选.第二、三种证法都使用了平均不等式，略带技巧，但处理过程仍然简单、清晰。比较起来，教材的做法则显得技巧性过强，如此独特的做法不易发现.证法一可谓“以拙胜巧”!大音希声,大道低回,大象无形,大巧若拙.—老子例1计算下列极限数列的子列的极限例2证明：数列递增性显然，下面证明有上界：极限的保序性例3例4证明数列单调有界,并求极限.解由均值不等式,有注意到对准则IICauchy收敛准则定理2Cauchy收敛准则必要性的证明Cauchy收敛准则

3、表明,收敛数列中项数充分大的任意两项的距离能够任意小,即越到后面,各项之间几乎“挤”在了一起。Cauchy收敛准则的优点在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。Cauchy收敛准则的缺点就是具体使用起来有时比较困难,比如收敛时与相应的N的确定有些不易.Cauchy收敛准则的否定形式Cauchy收敛准则的肯定形式证明下面我们用Cauchy收敛准则再来证明一下例2的结论.用Cauchy收敛准则的否定形式定理(单调有界定理)单调有界数列必有极限。Cauchy收敛准则定理(确界原理)非空有(上、下)界的数集必有(上、下)确界。至此，我

4、们已经学习了以下三个数学分析中十分重要的定理：