数列极限存在准则-3分析

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1、2.1.3数列极限存在的条件1定理2.9单调有界数列必有极限定理2.9的几何解释：以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动其结果或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生一单调有界定理Mx1x5x4x3x2xnA1)单调递增有上界的数列存在极限;2)单调递减有下界的数列存在极限.2定理2.9(单调有界定理)单调有界数列必有极限证3例如由定理2.9知是单调减少且下界为1的数列;是单调增加且上界为1的数列.存在.实际上45故{an}有上界.由单调有界定理，数列{an}有极限，记为a.由于对上式两边取极限

2、得6例3设S为有界数集.证明若supS=a∉S，则存在严格单调递增数列{xn}⊂S，使得证因为a是S的上确界，故对任给的ε>0，7同理证(补)因且多了最后一个正项，从而{an}单增.8从而对任意的n有故{an}有上界，注(1)这个极限值被瑞士数学家欧拉首先用字母e(是一个无理数,其值用e=2.7182818284……)来表示，即存在.9定理2.10的几何解释柯西准则说明收敛数列各项随着n，m的越大，彼此越是接近，以至于n，m充分大时，任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说，收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.a1a2a3a4a5

3、柯西收敛准则的条件称为柯西条件.二柯西收敛准则101112柯西收敛准则的等价叙述(补充):13连续复利问题(补充)14连续复利在研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、放射性元素的衰变等实际问题中，都有十分广泛的应用.这表明，e在经济学上可解释为：当利率为100%时，连续计算复利，1元在1年后将增至e(2.72)元.该结论反映出“货币的时间价值”.15