§3数列极限存在的条件

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1、§3数列极限存在的条件在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考虑该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算此极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两个基本问题。在实际应用中，解决了数列｛｝极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n充分大时，能充分接近其极限a，故可用作为a的近似值。本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。首先讨论单调数列，其定义与单调函数相仿。

2、若数列｛｝的各项满足关系式则称｛｝为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。如｛｝为递减数列，｛｝与｛｝为递增数列，而｛｝则不是单调数列。定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。证不妨设｛｝为有上界的递增数列。由确界原理，数列｛｝有上确界，记。下面证明a就是｛｝的极限。事实上，任给ε>O，按上确界的定义，存在数列｛｝中某一项，使得。又由｛｝的递增性，当n≥Ｎ时有另一方面，由于a是｛｝的一个上界，故对一切都有。所以当n≥Ｎ时有这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极

3、限，且其极限即为它的下确界例1设其中实数α≥2。证明数列{}收敛。证显然｛｝是递增的，下证｛｝有上界，事实上，于是由单调有界定理，｛｝收敛。例2证明数列收敛，并求其极限。证记易见数列｛｝是递增的。现用数学归纳法来证明｛｝有上界。显然。假设，则有，从而对一切n有，即｛｝有上界。由单调有界定理，数列｛｝有极限，记为a。由于对上式两边取极限得，即有（ａ＋１）(ａ-2)=O，解得ａ=-１或a=2.由数列极限的保不等性，ａ=-１是不可能的，故有例3设S为有界集。证明：若，则存在严格递增数列｛｝，使得证因a是

4、S的上界，故对任给的ε>O。存在x∈S，使得x>ａ-ε。又因，故x<ａ，从而有ａ-εａ>O,对任给一正整数n有整理后得不等式以,代入（1）式。由于故有这就证明了｛｝为递数列。再以代入（1）式，得故有上式对一切正整数n都成立，即对一切偶数n有。联系到该数列的单调性，可知一切正整数n都有，即数列有

5、上界。于是由单调有界定理于是由单调有界定理推知数列是收敛的。通常用拉丁字母e代表该数列的极限，它是一个无理数（待证），其前十三位数字是以e为底的对数称为自然对数，通常记单调有界定理只是数列收敛的充分条件。下面给出在实数系中数列收敛的充分必要条件。定理2.10（柯西（Cauchy）收敛准则）数列｛｝收敛的充要条件是：对任给的ε>O，存在正整数N，使得当n,m>N时有这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出。柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的

6、值愈到后面，彼此愈接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小一预先给定的任意小正数。或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。另外，柯西收敛准则把ε-N定义中与a的关系换成了与的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a,只要根据数列本身的特征就可以临鉴别其（收）敛（发）散性。例5证明：任一无限十进小数α=O。的n位不足近似（n=1,2,…）所组成的数列（2）满足柯西条件（从而必收敛），其中为0，1，2，3，…，9中的一个数，k=1,2,…。证记不妨设n>m，则有对任给的ε>O，取，则对

7、一切n>m>N有这就证明了数列（2）满足柯西条件。