数列极限存在的条件

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1、第二章数列极限三数列极限存在的条件在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题);若有极限,再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题).这是极限理论的两个基本问题.在实际应用中,解决了数列{an}存在性问题之后,即使极限值的计算较为复杂,但由于当n充分大时,an能充分接近其极限a,故可用an作为a的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。数列极限存在的条件注:如果xnx

2、n+1nN就称数列{xn}是单调增加的如果xnxn+1nN就称数列{xn}是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限提问:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？M定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限定理1的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生数列极限存在的条件数列极限存在的条件定理1(单调有界定理)

3、单调有界数列必有极限证明{}.,,,0NnNaaaa，<-Î$>"ee使得按上确界定义事实上例3证(舍去).)(333的极限存在式重根证明数列nxn+++=L例5证明nnn)11(lim+¥®存在。先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界(小于所以极限存在，且由图象看出：随着n的增大,nnna)11(+=逐渐接近一个…718.2的无理数e.3）0510152025303540455022.12.22.32.42.52.62.72.8证先证明：对ba<<"0和正整数n，有不等式.)1(11nnnbnabab+<-

4、-++事实上，-++++-=----++aba)baabbabababnnnnnn1111)((Lnnnnabaabb++++=--11L<.)1(nbn+该不等式又可变形为(nba,0<<为正整数)在此不等式中,取则有,0ba<<就有取又有例5任何数列都存在单调子列定理2.10（致密性定理）任何有界数列必有收敛的子列证明设数列有界，由例5可知：存在单调且有界的子列再由单调有界定理，证得此子列是收敛的。数列极限存在的条件定理2(柯西收敛准则)定理2的几何解释柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至

5、充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.{}.,,0,0:ee<->>$>"mnnaaNmnNa时有当收敛的充要条件是数列x1x2x3x4x5Cauchy收敛准则：Th2.10数列{}na收敛，.,,,,0ee<-Þ>"$>"ÛnmaaNnmN(或数列{}na收敛，.,p,,,0ee<-ÞÎ">"$>"Û+npnaaNnNN)说明:(1)Ｃauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。(2)Ｃauchy收敛准则的条件称为Ｃauchy条件

6、，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。(3)Ｃauchy准则把定义中与a的之差换成与之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。证例4证明：任一无限十进小数)10(.021<<=aa……nbbb的不足近似值所组成的数列,101010,,1010,102212211………nnbbbbbb++++收敛.其中)9,,2,1(…=ib

7、i是9,,1,0…中的数.证法一（Riemann最先给出这一证法）设.11nnnxøöçèæ+=应用二项式展开，得++=nnxn11++--+-…321!3)2)(1(1!2)1(nnnnnnnnnnnn1!1·2·3)1(-…øöçèæ--øöçèæ-øöçèæ-++øöçèæ-øöçèæ-+øöçèæ-++=nnnnnnnn112111!12111!3111!2111……，!21111++=+nx…+øöçèæ+-øöçèæ+-+øöçèæ+-121111!31111nnn++)!1(1+n;11111øöç

8、èæ+-øöçèæ+-nnn…注意到,11111øöçèæ+-<øöçèæ-nn,12121øöçèæ+-<øöçèæ-nn数列ïþïýüïîïíìøöçèæ+nn11单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出小结(1),单调有界定理;(2),单调有界定理的几何意义;(3),柯西收敛准则;作业P39: