数列极限存在的条件

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1、§3数列极限存在的条件一数列收敛的一个充分条件——单调有界原理二数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则三关于极限四数列单调有界证法欣赏一单调有界原理定义称为单调上升的，若称为单调下降的，若单调增加和单调减少数列统称为单调数列提问:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？M定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限定理1的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生数列极限存在的条件数列极限存在的条件定理1(单调有界定理)单调有界数列必有极限证明例1设证明数列

2、{}收敛.例2例3(n重根号),···证明数列单调有界,并求极限.求(计算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到对有有↘···,例41）证明序列的极限存在；2）求极限解1）因时有所以即有这表明序列有下界。又故序列下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是或2）因所以又即得例2证(舍去)二数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则1Cauchy列：如果数列具有以下特性：则称数列是一个基本数列.（Cauchy列）2Cauchy收敛准则：定理数列收敛的充要条件是：是一个基本数列.数列收敛或数列极限存在的条件定理的几何解释柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至

3、充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1x2x3x4x5例5证明:任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛.其中是中的数.证令有……三.关于极限（证明留在下段进行.）例8例9例10四数列证法一单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.设用二项式展开，得注意到且比多一项即↗.有界.综上,数列{}单调有界.评註:该证法朴素而稳健,不失大师风度.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式为正整数),有