数列极限存在的条件.doc

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1、§3数列极限存在的条件主要内容：单调有界定理柯西准则要求：掌握单调有界定理证明和计算极限的方法技巧。难点：运用柯西准则证明极限存在或不存在方法的掌握单调有界定理：任何单调有界数列都有极限。例1设，证明该数列收敛。例2证明数列收敛，并求其极限。clf,n=20;a(1)=sqrt(2);plot([0;n],[2;2]),holdonfori=1:n;a(i+1)=sqrt(2+a(i));plot(i,a(i),'r.'),holdonendaxis([1,n,1,2.2])数列的单调递增是显然的,有界很容易用归纳法证明,而且利用单调有界定理,

2、设其极限为,则有,A=2例3证明存在。（c16,n=）先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界（小于3），所以极限存在，且由图象看出：随着n的增大,逐渐接近一个的无理数eclf,n=50;x=1:n;f(x)=(1+1./x).^x;plot([0;n],[2.718;2.718]),holdonplot(x,f(x),'r.')存在的证明Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，这个极限的证明方法很多。下面给出一个较简单的证法证法先证明：对和正整数，有不等式事实上，<该不等式又可变形为(为正整数)在此不等式中,取则有就有↗.单调增取

3、又有对成立，又由有界由单调有界定理存在。用莱表示这个极限。Cauchy收敛准则：数列{收敛，}例4证明:任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛.其中是中的数.证令有……数列极限习题课一按定义证明数列极限p27，2按定义证明：3）5）回忆证明1）的叙述2）证明的一般步骤证明：1）2）由使p331求下列极限（3）a(a+b)/2bp342设则存在N，时，证明由时由，时4（4）解保号性时，两边夹原则＝1(5)解证明以下数列发散6（2）（3）回忆收敛数列的性质：有界性若数列无界，则数列发散(2)对于任意取，则数列无界，所以数列发散回忆归结原则（3

4、）取数列，则取，则p391(5)二单调有界定理证明数列收敛3（2），数列单调递增设时，时（3）时单调有界定理，极限存在46不妨设单调递增，。只需证明有界。反证法。假设无界。则对任意存在，因无界，与矛盾。11+hl7由保号性时，时，数列递减，有界，存在，再由8有界存在上确界，记为A由确界定义，对任意，取，时，即8取注意递减10　因为由p37例4的证明，递增，且第二章数列极限总练习1（1）因1n2（3）不等式：证明由图，利用这个不等式3则数列的前n项算术平均值构成的数列和几何平均值构成的数列极限都是4（2）由3题（3），由3题（4）由3题（5）由3

5、题记(8)