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1、第二章数列极限§1数列极限的概念§2收敛数列的性质§3数列极限存在的条件第二章数列极限§3数列极限存在的条件§3数列极限存在的条件教学内容:单调有界定理，柯西收敛准则．教学重点:数列单调有界定理．教学要求:掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性．理解柯西收敛准则的直观意义．教学难点:柯西收敛准则．§3数列极限存在的条件一数列收敛的一个充分条件——单调有界原理二数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则三关于极限四数列单调有界证法欣赏一单调有界原理定义称为单调上升的，若称为单调下降的，若单调增加和单调减少数列统称为单调数列提问:收敛的数列是否一定有界？有
2、界的数列是否一定收敛？M定理1(单调有界定理)在实数系中，单调有界数列必有极限定理1的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生数列极限存在的条件定理2.9(单调有界定理)单调有界数列必有极限证明：例1设证明数列{}收敛.注：链式消元法．证明：①单调递增；②有上界：从而由定理2.9即得收敛.例2(n重根号),···证明数列单调有界,并求极限.小结：单调有界法—求极限方法之一． 用例2的方法，求证极限，通常称为单调有界法．解题步骤是： ①证明数列单调有界；
3、②设数列的极限为a，对数列的通项公式两边取极限，解关于a的方程，即的所需．证明：①单调递增；②有上界：（归纳法）③求极限（用递推公式）:例3求(计算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到对有有↘···,所以有例41）证明序列的极限存在；2）求极限.解1）因时有所以,即有故序列下降.因此序列极限存在,记极限值为c.于是这表明序列有下界.又或2）因所以又即得.例5证明：(舍去)例6设为有界数集.证明：若，则存在严格递增数列，使得 .注：本例的证明方法是数学分析证明命题常用的手法之一，通常称为双逼近法，请大家注意学习.证明：二数列收敛的充要条件-Cauchy收
4、敛准则1Cauchy列：如果数列具有以下特性：＞＞＜则称数列是一个基本数列.（Cauchy列）2Cauchy收敛准则：定理2.10数列收敛的充要条件是：是一个基本数列.数列收敛或注：①该定理常称为实数的完备性定理；条件称为柯西条件；②定理的特点（收敛数列的特点）：几何特征—充分大的那 些“挤”在一起；数量特征—的下标充分大的任意两项， 相差任意小； ③另一表达形式：数列收敛，，，（自然 数）； ④定理的否定： 数列发散，，、； ⑤用本定理证明数列收敛与用极限的“”定义的异同：…．Cauchy定理的几何解释柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两
5、项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1x2x3x4x5例7证明:任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛.其中是中的数.证明：有令an=证明：三关于极限（证明留在下段进行）例10例11例12四数列证法一(Riemann)证法单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.设用二项式展开，得注意到且比多一项即↗.有界.综上,数列{}单调有界.评註:该证法朴素而稳健，不失大师风度.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不
6、等式为正整数),有小结(1),单调有界定理;(2),单调有界定理的几何意义;(3),柯西收敛准则;(4),柯西收敛准则的几何解释;(5),特殊极限.作业第38-40页A类：1（1）（3）（5），2，3（1）,5（1）,6；B类：3（2），7；C类：8柯西(Cauchy,A.L.1789-1857,法国)他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础.他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的.他的全集26卷，仅次于欧拉，居第二位.柯西是历史上有数的大分析学家之一.幼年时在父亲的教导下学习数学.拉格朗日、拉普拉斯常和他的
7、父亲交往，曾预言柯西日后必成大器.1805年柯西入理工科大学，1816年成为那里的教授.1821年,在拉普拉斯和泊松的鼓励下,柯西出版了《分析教程》《无穷小计算讲义》《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作.他给出了分析学一系列基本概念的严格定义.柯西的极限定义至今还在普遍使用,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上. 现今所谓的柯西定义或ε-δ方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的.柯西时代实数的严格理论还未建立起来,因此极限理论也就不可能完成.柯西在18
