用极限定义证明极限.doc

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1、例1、用数列极限定义证明：上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是22；不等号（4）成立的条件是，故取N=max{7,}。这样当n>N时，有n>7，。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为，所以不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，。在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或的方法，因此，对于具体的数，可把它放大为kn（k为大于零的常数）的形式例2、用数列极限

2、定义证明：不等号（1）成立的条件是,故取N=max{4,},则当n>N时，上面的不等式都成立。注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如：例3、已知，证明数列an的极限是零。证明：，欲使成立由不等式解得：，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整数n都是成立的，因此取，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式和不等式均成立，所以当n>N时，。在上面的证明中，设定，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定，则就有可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合

3、数列极限的定义，先设定，这样就能保证N是正整数了。那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立：＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的就自然能找到对应的N。