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1、定义证明二重极限 定义证明二重极限 就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为a 关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任
2、一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周<。成立，则称a为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(x。，入)的任
3、一去心邻域内都有使人x，y)无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一a卜 利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0; (2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0 且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0 故(inx/x^2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=√a
4、时,显然极限为√a x0>√a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减 且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a. 对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a 同理可求x0<√a时,极限亦为√a 综上,数列极限存在,且为√ (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极
5、限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时) 目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本
6、性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明
7、. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 证明二重极限不存在 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是
8、二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(
