用定义证明函数极限方法总结

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1、c90ff4d2aa63f91f131ca450edd34869.doc第4页共4页用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式,方法与用定义证明数列极限式类似,只是细节不同。方法1:从不等式中直接解出(或找出其充分条件),从而得。方法2:将放大成,解,得,从而得。部分放大法:当不易放大时,限定,得,解,得:,取。用定义来证明函数极限式,方法:方法1:从不等式中直接解出(或找出其充分条件),从而得。方法2:将放大成,解,得,从而得。部分放大法:当不易放大时,限定,得,解,得:,取。平行地,可以写

2、出证明其它四种形式的极限的方法。例1证明:。证明:,要使:,只要 ,即,取,即可。例2证明:。分析:因为,放大时,只有限制c90ff4d2aa63f91f131ca450edd34869.doc第4页共4页,即,才容易放大。证明:,限制,即,要使;,只要 ,即,取,即可。例1证明:,()。证明:,限制,所以,要使:,只要 ,即,取,即可。例2设,证明:。证明:当时,限制,则,。,要使:      ,只要,即,取,当时,有:,      说明:这里限制自变量的变化范围,必须按自变量的变化趋势来设计,时,

3、只能限制在点的某邻域内,不能随便限制!错解:设,则,要使:,只要,取,c90ff4d2aa63f91f131ca450edd34869.doc第4页共4页当时,有:。。例1证明:。证明:考察,限制,则,。,要使:  ,只要,即,取,当时,有:,      。说明:在以上放大(即缩小)的过程中,先限制,则得:。其实任取一个小于的正数,先限制,则(如果是限制或,则不能达到以上目的)。例2证明:。证明:考察,仅在的邻域内无界,所以,限制(此邻域不包含点),则。,要使:,只要,即,取,当时,有:,      

4、。例3用定义证明极限式:,()c90ff4d2aa63f91f131ca450edd34869.doc第4页共4页证明:(不妨),要使:(由对数函数是单调增函数)。于是,取,当时,有:。故。证毕例1设,,证明:,其中为正整数。证明:(用定义证明)因为,,由极限保不等式性知,;当时,,由,知:,当时,有:,故:。当时:,由,知:,当时,有:,故:。证毕

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