函数极限的定义

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1、第三节函数极限的定义一、函数在有限点处的极限在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.引例设函数尽管函数在点处没有定义，但当无限趋近于1而不等于1时，相应无限趋近于2.或定义设函数在点的某个空心邻域中有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，对于满足的一切，都有那么常数就称作函数当时的极限，记为函数极限的几何意义对于任意，对满足的一切，都有总存在正数，例函数注1：函数在点处的极限与函数在这一点是否有定义、或为多少毫无关系，它所反映的是在

2、则有该点附近的变化趋势.经过不等式的变形，得到关系注2:函数在点的极限的定义说明了如何去证明其中是一个与无关的常量.再取，则当函数在点的极限为的方法：对于考虑时，有：此即说明例1证明下列极限⑴证⑴因⑵所以,,取，当时，可使故⑵因欲使即所以不妨取此时令则当时，有因而例2证明证因所以,,取，当，可使所以例3证明证因为能解出不等式，要对进行适当的控制，为此限定的变化范围为，此时有所以,,取，当时，可使所以证因例4证明取即所以所以,,取，当时，所以证因例5设，证明所以,,取，当时，可使所以左右极限考虑函数:是当在该点两侧趋近于时，函数有一个确定的变化趋势.但某种情况下，函数在两侧

3、的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论.前面讨论的是函数在某一点的极限，它反映的该函数在点两侧的变化趋势是不同的:当在0的右侧趋近于0时，当在0的左侧趋近于0时，这就导出左右极限的概念.那么称作在处的左极限，记为左极限定义：若当时，使得那么称作在处的右极限，记为右极限定义：若当时，使得或或容易证明：例如：定理极限存在的充分必要条件是在点处的左右极限存在并且相等.即存在均存在，且解因例6说明极限不存在.所以极限不存在.二、函数在无穷远处的极限定义设函数在时有定义，为常数.①若，，当时，使得则称为函数在时的极限，记为或②若，，当时，使得则称为函数在时的极限，记为或③若，，当时，

4、使得则称为函数在时的极限，记为或例7证明证因所以,,取，当时，使得所以例8证明证因只要，即所以,,取，当时，使得所以类似可证证因例9证明所以,,取，当时，使得所以例10证明所以,,取，当时，使得证因当时，则有不等式所以三、极限的性质即：在的某个空心邻域内有界.定理1(局部有界性)如果极限存在，证设，由定义，对存在当，即有那么在的某个空心邻域内，函数有界.证设，由定义，对存在当时，有从而定理(有界性)如果极限存在，那么存在取，则对所有的，有使得对所有的，有定理2(极限的保号性)如果，则存在点的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：证设，由定义，对存在当时，有定理2’(保号性)如

5、果，则存在正整数当时，有：推论在的某个空心领域中，有且则注意：如果推论的条件改成（严格大于），则不能推出例如时但证设，则当时，定理3(函数极限与数列极限的关系)则此数列相应的函数值数列收敛，且设存在，又设是函数定义域中的一个任意数列，且由条件故对，当时，有即因而即此定理的一个实际意义是：使其函数值数列收敛到两个不同的值，即如果能够找到自变量的两个不同子列则说明函数在这一点无极限.所以不存在.例证明函数在时极限不存在.证令则但对于数列，有定理设存在，则对于的任一子列用此定理，即可说明数列的极限不存在.有