函数极限的定义证明

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1、习题1-31.根据函数极限的定义证明:(1);(2);(3);(4).证明(1)分析

2、(3x-1)-8

3、=

4、3x-9

5、=3

6、x-3

7、,要使

8、(3x-1)-8

9、0,$,当0<

10、x-3

11、

12、(3x-1)-8

13、

14、(5x+2)-12

15、=

16、5x-10

17、=5

18、x-2

19、,要使

20、(5x+2)-12

21、0,$,当0<

22、x-2

23、

24、(5x+2)-12

25、0,$,当0<

26、x-(-2)

27、

28、,只须.证明因为"e>0,$,当时,有,所以.2.根据函数极限的定义证明:(1);(2).证明(1)分析,要使,只须,即.证明因为"e>0,$,当

29、x

30、>X时,有,所以.(2)分析,要使,只须,即.证明因为"e>0,$,当x>X时,有,所以.3.当x®2时,y=x2®4.问d等于多少,使当

31、x-2

32、

33、y-4

34、<0.001？解由于x®2,

35、x-2

36、®0,不妨设

37、x-2

38、<1,即1

39、x2-4

40、=

41、x+2

42、

43、x-2

44、<5

45、x-2

46、<0.001,只要,取d=0.0002,则当0<

47、x-2

48、

49、x2-4

50、<0

51、.001.4.当x®¥时,,问X等于多少,使当

52、x

53、>X时,

54、y-1

55、<0.01?解要使,只,.5.证明函数f(x)=

56、x

57、当x®0时极限为零.6.求当x®0时的左﹑右极限,并说明它们在x®0时的极限是否存在.证明因为,,,所以极限存在.因为,,,所以极限不存在.7.证明:若x®+¥及x®-¥时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则.证明因为,,所以"e>0,$X1>0,使当x<-X1时,有

58、f(x)-A

59、0,使当x>X2时,有

60、f(x)-A

61、

62、x

63、>X时,有

64、f(x)-A

65、<

66、e,即.8.根据极限的定义证明:函数f(x)当x®x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)®A(x®x0),则"e>0,$d>0,使当0<

67、x-x0

68、

69、f(x)-A

70、

71、f(x)-A

72、0,$d1>0,使当x0-d1

73、f(x)-A0,使当x0

74、f(x)

75、-A

76、

77、x-x0

78、

79、f(x)-A

80、0及M>0,使当

81、x

82、>X时,

83、f(x)

84、0,当

85、x

86、>X时,有

87、f(x)-A

88、

89、f(x)

90、=

91、f(x)-A+A

92、£

93、f(x)-A

94、+

95、A

96、<1+

97、A

98、.这

99、就是说存在X>0及M>0,使当

100、x

101、>X时,

102、f(x)

103、

104、A

105、.