函数凸性定义的等价性及其判别方法研究

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1、函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎（陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学092班，陝西汉中723000）指导教师：雍龙泉【承商要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性，判别方法及凸函数的应用。首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函數的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处

2、处都不在為数图形的下方（或上方）。后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于（不小于）右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。【关键词】凸焉数：等价定义；判定方法1、引言凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研宂凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发

3、展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奐基之作，即R.T.Rockafellar的“ConvexAnalysis”，无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研宂对象是凸集和凸函数，基本工具是h集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研宂，即在一个不引入拓扑的线性空间中來研宂。因此就凸分析的基本内容而言，凸分析完企可表达为“凸代数”。凸函数作为凸

4、分析的基本研宂对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具在凸分析的研宂中具有十分重要的意义。我们知道，凸函数分为上凸函数和卜凸函数。本文侧重讨论的是下凸函数的等价定义、判定定理，然后粗略的介绍了門函数的运算及其应用。巾于上乃阑数和下凸函数在定义这个最基本的内界上是平行的，那么很显然他们在定理，运算这些方面的内容也是平行的。所以本文不详细讨论其证明等方面的内容。关于下凸函数的定义通常做如下定义：如果在区间（a,b）内的函数/0Q满足，+Ax2）＜（1-）+A/（x2）,V

5、x,,x2eVAe[0，l],那么称/（x）为内的下凸函数。下凸函数的定义有很多不同&方式，而这些不同的定义是否完企等价是人们必须弄清的问题，我们发现丁凸函数的六种不同定义方式是完企等价的，而且找到了三种不同的方法來判定函数性。本文通过对这些定义和定理详细的讨论之后就付以很清晰的判断一个函数是否为凸函数。最后运用凸函数的相关结论在不等式的证明，验证级数收敛性这两方面举例说明其应用。2、凸函数的六种不同的定义定义2.1假设在区间&，/?）上的函数/（X）满足：/（（I-A）x,+/k2）＜（1-）+A/（x2）,Vx,,x2e（fz，/?），VAe[0，l]，那

6、么称/(X)为(仏/7)内的下凸函数【1】。定义2.2假设在区间上的函数/GO满足：n""/=1//=!/=!那么称/(X)为(A&)内的下凸函数。定义2.3假设在区间上的函数满足：/平>/(.vJy(x2)，v;^eM，那么称/(X)为(60)内的下凸函数。定义2.4若函数f在(6/，/?)上满足：趾zfa}0,(Vx,,x2,x3G(6Z,bX,

7、则

8、/(X)为(6Z，&)内的下凸函数。定义2.6对上的函数/GO,设(px)=’(x)-’()’)，(x，ye(«，/?);*O)，如果作为X的函数在k，0上是不减的，则/(X)为/?)内的下凸函数。注意：如无特别说明，本文中的开区间Gz，M其取值范围均为而乂的取值范围为:Ag[0，1]。3、凸函数六种定义之间的关系要确定定义之间的关系，则需要证明出其是否能互相推导，即是否是等价的定义，下面我们来一次推导以上六种定义之间的关系。定义2.13定义2.2证明当n=2时，岑=1-/1，，定义2.2显然成立，为验证其一般性，假设对于n=时成立,现证明当n=k+l吋式子

9、也1成立，不妨假设0<4+

10、<1，任収