函数单调性与凸性的判别法.ppt

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1、第九节函数单调性与凸性的判别法一、单调性的判别法二、凸性及其判别法一、函数单调性的判别法1、单调性的判别法定理(函数单调性的判定法)备注证例1解注意函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．2、单调区间求法定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间，这时也称函数是该区间的单调函数.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．求函数的单调区间的方法:例2解函数的单调增加区间为：函数的单调减少区间为：例2解函数的单调增加区间为：函数的单调减少区间为：说明:1)单调区间的分界点除驻点外,

2、也可以是导数不存在的点.例32)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例4例5解3)注意若区间内导数为零的点只是孤立点,则不影响区间的单调性,即函数在区间内仍是单调的.例如,3、利用单调性可以证明不等式例6例7例7证例证例证4、利用单调性可以证明根的唯一性例8此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.5、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.二、函数的凸性及其判别法1.函数凹凸的定义问题:如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上

3、任意弧段位于所张弦的下方定义:2.函数凹凸性的判别法判别法2判别法1例1解注意到,例2解说明:若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则函数的凹凸性不变.3、曲线的拐点及其求法1)定义注意拐点处若存在切线，则必在拐点处穿过曲线.2)拐点的求法证求拐点的方法:例3解下凸上凸下凸拐点拐点例4解不存在下凸上凸注意:结论：若曲线y=f(x)在点x0连续,或不存在,但在点x0两侧异号,则点是曲线y=f(x)的一个拐点.求拐点的步骤：step1求二阶导数等于零和不存在的点x0.step2判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号.step3写出拐点.4、利用函数的凸性证明不等式例证明:当时，有证明:令

4、,则上是下凸函数,即证5、小结曲线的弯曲方向——凸性;改变弯曲方向的点——拐点;函数凹凸性的判定曲线凹凸与拐点的判别思考与练习提示:利用单调增加,及B上则或的大小顺序是()1.设在提示:及.的凹区间是凸区间是拐点为;;2.曲线有位于一直线的三个拐点.3.求证曲线证明：令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.解不能断定.例但当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．解例如求拐点方法2:例解练习题练习题答案练习题练习题答案