§3.3 函数单调性与凸性的判别法.ppt

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1、§3.3函数单调性与凸性的判别法增减3.3.1函数单调性的判别法1证应用拉格朗日中值定理(1).设即所以在上单增.定理3.3.1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.在某区间内有限个点处为零,若则函数在该区间上仍是单增(或单减)的.在其余点处恒为正(或负),说明在(1).若在内单调增加.,则上在(2).若在内单调减少.,则上2解例1.判定函数在上的单调性.在上单增.一个函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或单调减少,而往往是在定义域内的某一部分区间上单增,在另一部分区间上单减。函数的单增区间,单减区间统称为单调区间.3xyo不存在,确定函数单调

2、区间的方法和步骤:(1).确定函数的定义域;(2).求找使的点(驻点),及使不存在的点;(3).以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。4解(1).定义域例2.确定函数的单调区间.令,得(2).(3).以为分界点,将定义域分割,列表:增减增函数的单增区间为:单减区间为:5解(1).定义域例3确定函数的单调区间.(2).令,得当时,不存在,(3).列表:增减增函数的单增区间为:单减区间为:6利用单调性证明不等式例4.证明不等式证令,即在上单增,当时,当时,73.3.2函数凸性的判别法定义3.3.1(函数的凸性)若对任意设在区间I上连续，x

3、yoxoy凹函数凸函数图形下凸图形上凸8直观观察凸函数（曲线下凸）xyo凹函数（曲线上凸）xoy递增递减9定理3.3.2证明且设函数在上连续,在内具有二阶导数,(1)若在内，则在上是凸函数对，只需证即记函数在处的一阶泰勒展式为:，当凹函数(2)若在内，则在上是曲线下凸曲线上凸10则凸函数.则在上是类似可证另一情形.证毕11解例1.判断曲线的凸向时,曲线在内是上凸的.时,曲线在内时是下凸的.定义曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.如例1中,点是曲线的拐点.如但点不是拐点.1.若点是拐点,则或不存在2.由所确定的点未必是拐点.或不存在注意12解不存在.例2.求曲线的拐点.时,时,曲线在内是

4、下凸的.时,曲线在内时是上凸的.所以,曲线的拐点是(0,0).确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：1.求出2.找使的点及不存在的点;3.以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.13列表：有拐点无拐点综上，曲线在为上凸的点是拐点.令得的拐点及凸向区间.例3.求曲线解定义域为:当时,不存在.不存在在上为下凸的.14