函数单调性的判别法

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1、§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点一、函数单调性的判定法函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？f(x)>0f(x)<0观察结果函数单调增加时导数大于零函数单调减少时导数小于零观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[a

2、b]上单调减少由拉格朗日中值公式有f(x2)f(x1)=f(x)(x2x1)(x10x2x1>0所以f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)>0即f(x1)0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab

3、)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少例1判定函数yx+cosx在[p2p]上的单调性解因为在(p,2p)内y1sinx>0所以函数yxsinx在[p2p]上的单调增加定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>

4、0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少因为在(0)内y<0所以函数yexx1在(0]上单调减少因为在(0)内y>0所以函数yexx1在[0)上单调增加解函数yexx+2的定义域为()yex1例2讨论函数yexx+2的单调性解函数的定义域为()所以函数在[0)上单调增加因为x>0时y>0所以函数在(0]上单调减少因为x<0时y<0例3讨论函数32xy=的单调性.1

5、设函数yf(x)在[ab]上连续在(ab)内可导x1x2是f(x)的两个相邻的零点问f(x)在[x1x2]上是否单调？2如何把区间[ab]划分成一些小区间使函数f(x)在每个小区间上都是单调的？讨论(1)确定函数的定义域(2)求出导数f(x)(3)求出f(x)全部零点和不可导点(4)判断或列表判断(5)综合结论确定函数单调区间的步骤xf(x)f(x)例4确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间解这个函数的定义域为()f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为

6、零的点为x11、x22列表分析函数f(x)在区间(1]和[2)内单调增加在区间[12]上单调减少(1)(12)(2)↗↘↗＋－＋y2x39x212x3说明：一般地如果f(x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正(或负)时那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的例5讨论函数yx3的单调性解函数的定义域为()y3x2显然当x0时y0;当x0时y>0因此函数yx3在区间(0]及[0,)内都是单调增加的从而函数在整个定义域(

7、)内是单调增加的证明:例6当时证明：sinxtanx2x.设f(x)sinxtanx2x则f(x)在内连续f(x)cosxsec2x2因为在内cosx10cos2x10cosx0所以f(x)0从而f(x)在内单调增加因此当时f(x)f(0)0sinxtanx2x0也就是sinxtanx2x二、曲线的凹凸性与拐点函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？曲线的凹凸性定义设f(x)在区间I上连续如果对I上任意两点x1x2恒有那

8、么称f(x)在I上的图形是凹的那么称f(x)在I上的图形是凸的如果恒有2)()()2(2121xfxfxxf+<+,2