函数单调性与凸性的判别法

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1、第九节函数单调性与凸性的判别法一、单调性的判别法二、凸性及其判别法一、函数单调性的判别法1、单调性的判别法定理(函数单调性的判定法)备注证例1解注意函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．2、单调区间求法定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间，这时也称函数是该区间的单调函数.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．求函数的单调区间的方法:例2解函数的单调增加区间为：函数的单调减少区间为：例2解函数的单

2、调增加区间为：函数的单调减少区间为：说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可以是导数不存在的点.例32)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例4例5解3)注意若区间内导数为零的点只是孤立点,则不影响区间的单调性,即函数在区间内仍是单调的.例如,3、利用单调性可以证明不等式例6例7例7证例证例证4、利用单调性可以证明根的唯一性例8此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.5、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程

3、实根的个数和证明不等式.二、函数的凸性及其判别法1.函数凹凸的定义问题:如何用数量方法来刻划曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义:2.函数凹凸性的判别法判别法2判别法1例1解注意到,例2解说明:若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则函数的凹凸性不变.3、曲线的拐点及其求法1)定义注意拐点处若存在切线，则必在拐点处穿过曲线.2)拐点的求法证求拐点的方法:例3解下凸上凸下凸拐点拐点例4解不存在下凸上凸注意:结论：若曲线y=f(x)在点x0连续,或不存在,但在点x0两侧异号

4、,则点是曲线y=f(x)的一个拐点.求拐点的步骤：step1求二阶导数等于零和不存在的点x0.step2判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号.step3写出拐点.4、利用函数的凸性证明不等式例证明:当时，有证明:令,则上是下凸函数,即证5、小结曲线的弯曲方向——凸性;改变弯曲方向的点——拐点;函数凹凸性的判定曲线凹凸与拐点的判别思考与练习提示:利用单调增加,及B上则或的大小顺序是()1.设在提示:及.的凹区间是凸区间是拐点为;;2.曲线有位于一直线的三个拐点.3.求证曲线证明：令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.解

5、不能断定.例但当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．解例如求拐点方法2:例解练习题练习题答案练习题练习题答案