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1、三、最大值与最小值二、极大值与极小值2.4.1函数单调性与极值的判别一、函数单调性一、函数单调性若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为导数为零的点可能是单调区间的分界点说明:单调区间的分界点除导数为零的点外,也可能是不可导点.例如,2)如果函数在某导数为零的点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,例2.证明时,成立不等式二、极大值与极小值定义:在其中当时,(1)则称为
2、的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不可导点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,驻点定理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,处取得极值，那么定理1(必要条件)设函数在处可导，且在回忆费马引理导数为零的点即的实根叫做的驻点.驻点一定是极值点吗？例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令
3、得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为求极值的一般步骤：(1)求(2)求驻点及不可导点(3)检查在驻点及不可导点左右的正负号,判断极值点(4)求极值练习.求函数的单调区间与极值练习.求函数的单调区间与极值－不存在＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.注：例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.驻点端点端点和不可导点则其最值可能在驻点、不可导点或区间端点处取得.三、最大值与最小
4、值求函数最值步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值.特别:当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)解计算例3.实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试
5、问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为例解如图,解得(k为某一常数)练习.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问20km,公路,内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:驻点或不可导点(2)第
6、一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.
