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1、§3.1函数的单调性与极值§3.2极值的几何应用§3.3边际与弹性学习目标教学建议第三章导数的应用§3.4极值的经济应用§3.5曲线凹凸与拐点一.函数的单调性二.函数的极值§3.1函数的单调性与极值一.函数的单调性复习单调性的定义设函数在区间上有定义，若对于中的任意两点和,当时，总有则称在上单调增加.(1)若,由知,倾角为锐角,在处,曲线是上升的,函数随增加而增加.在§1.1中在§2.1中,导数的几何意义复习单调性的定义在§1.1中在§2.1中，导数的几何意义设函数在区间上有定义，若对于中的任意两点和,当时，总有则称在上单调减少.(2)若,由知,倾角为钝角,在处
2、,曲线是下降的,函数随增加而减少.函数单调性的判定法则由单调性的判定法则定理3.1在函数可导的区间内:(1)若,则函数单调增加;(2)若,则函数单调减少.解练习1确定函数的单调性.函数的定义域是因可知在内,故函数在其定义域内是单调增加的.说明在函数可导的区间内,是函数在区间内单调增加(减少)的充分条件,而非必要条件.例如,函数在区间内是单调增加的,而此例说明,函数在区间内单调增加(减少)时,在个别点处,可以有结论在函数的可导区间内,若或,而等号仅在一些点处成立,则函数在区间内单调增加或单调减少.(1)确定函数的定义域;(2)求导数由确定函数的驻点.驻点将定义域分成部
3、分区间;讨论函数的增减区间的程序(3)判定函数的增减区间:考察导数在各个部分区间内的正负号,便知函数在各个部分区间内的增减性.解(1)函数的定义域是(2)求导数并确定函数的驻点:(3)判定函数的增减区间:驻点将函数的定由得义域分成三个部分区间:在区间 内,,函数 单调增加;练习2讨论函数的单调增减区间.在区间 内,,函数 单调减少;在区间 内,,函数 单调增加.二.函数的极值极值的定义定义3.1设函数在点及其左右邻近有定义,是其中的任一点,但(1)若有则称是函数的极大值点,极大值点极小值点极大值点不是极值点函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点;
4、函数的极大值与极小值统称为函数的极值.是函数的极大值;称是函数的极小值.称均为驻点(2)若有则称是函数的极小值点,极值存在的必要条件若函数在可导,且有极值,则一定有注意:函数的驻点却不一定是其极值点.有,即是该函数的驻点,但却不是其极值点.即对可导函数而言,它的极值点一定是其驻点.如,对函数也只是驻点,但非极值点.上页图中的那么,究竟哪些点一定是极值点呢?极值存在的充分条件定理3.2设函数在及其左右邻近可导:则是函数的极大值点.而在的右侧邻近,而在的右侧邻近,则是函数的极小值点.(2)若在的左侧邻近,(1)若在的左侧邻近,(1)确定函数的定义域;(2)求导数由确定函
5、数的驻点.驻点将定义域分成部分区间;求函数的极值的程序(3)判定:考察驻点左右两侧导数的符号:若由正变负,则是极大值点;若由负变正,则是极小值点;若不变号,则不是极值点.(4)求出极值:若函数有极值点,求出相应的函数值,这就是函数的极值.对可导函数解(1)函数的定义域是(2)求导数并确定函数的驻点:由得(3)判定:驻点将函数的定义域分成三个部分区间:练习3求函数的极值.极大值极小值解(1)函数的定义域是(2)求导数并确定函数的驻点:由得练习4求函数的极值.(3)判定:驻点将函数的定义域分成三个部分区间.列表判定:极小值非极值
