函数的单调性与极值ppt课件.ppt

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1、(1)引子3.3.1函数的单调性结论：均为锐角，即每一点的切线斜率都是正的，即（1）观察单调增函数的图像（右图），当函数单调增加时，这条曲线沿　轴正向是上升的。若该曲线是光滑的，那么在区间内每一点的切线都存在，其倾斜角如何？xyo2l11l2y=f(x)3.3函数的单调性与极值(1)引子3.3.1函数的单调性结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即（2）观察单调减函数的图像（右图），当函数单调减少时，这条曲线沿　轴正向是下降的。若该曲线是光滑的，那么在区间内每一点的切线都存在，其倾斜角又如何呢？xyo1l12l2y=f(x)(1)引子3.3.1函数的单调性由此可见，函数的单调性

2、与它的导数的符号有着密切的联系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？?结论是肯定的(2)定理3.3.1函数的单调性设函数　　在　　　内可导：（2）如果在　　　内　　　　，则函数　　在内单调减少。（1）如果在　　　内　　　　，则函数　　在内单调增加。(2)定理3.3.1函数的单调性说明1：定理中的开区间换　　，　，等其它各种区间，定理的结论仍然成立。说明2：与　　　　换成　　　　与　　　（等号只在个别点成立），定理的结论是否仍然成立？(3)举例3.3.1函数的单调性例１讨论函数　　　　　　在区间内的单调性。解：因为所以在区间（-10，100）内由定理可知在区间（-10，100

3、）内单调递增。(3)举例3.3.1函数的单调性例2讨论函数　　　　　　的单调性。解：因为的定义域为当时，当时，由定理知是的单调递增区间,是的单调递减区间。(3)举例3.3.1函数的单调性由定理可知，讨论函数的单调性，需要根据一阶导数的符号来进行判定。当连续时，的正负值的分界点是使或不存在的点。我们把的点称为函数的驻点或稳定点。(3)举例3.3.1函数的单调性例3求函数　　　　　　　　的单调区间。解：因为的定义域为令得驻点，列表讨论x1(1,5)(-,1)5(5,+)+-+所以函数的单调增区间是、单调减区间是(3)举例3.3.1函数的单调性例4证明：当　　时，　　　　。证明：令则又因为

4、所以函数在单调增加,即所以(4)训练题一3.3.1函数的单调性1、讨论函数的单调性．2、讨论函数的单调性。3、讨论函数的单调区间．答案：单调增加区间是、；单调减少区间是答案：单调增加区间是；单调减少区间是答案：单调增加区间是、；单调减少区间是(1)引子3.3.2函数的极值观察图像：函数在点，处有何特点？显然，在的周围其他点的函数值比小，在周围其他点的函数值比大。xyoy=f(x)x1x2(2)定义设函数　　在　点某领域内有定义，如果在该领域内任取一点　　　　，均有　　　　　，则称是函数　　的一个极大值，称　为　　的极大值点；同样，如果在该邻域内任取一点　　　　，均有，则称　　　是函数

5、　　的一个极小值，称　　　为　　的极小值点．3.3.2函数的极值(2)定义xyox1x2x3x4x5x6ab从图中我们可以看到点　、　是极大值点，、是极大值；　、　、　是极小值点，　　、　　、　　是极小值。3.3.2函数的极值(3)定理函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。定理（极值存在的必要条件）如果函数　　在点　可导，且在点　处取得极值，则必有　　　　。3.3.2函数的极值(3)定理定理说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。那么我们要问哪些驻点才是极值点呢？除了驻点以外还有哪些点可能成为极值点呢？3.3.2函数的极值(3)定理

6、定理（极值的第一充分条件）设函数　　在　的某个领域内可导，且　　　　。⑴如果当　　　时，　　　　；当　　　时，,则函数　　在　处取得极大值。⑵如果当　　　时，　　　　；当　　　时，则函数　　在　处取得极小值。⑶如果在　的两侧，　　具有相同的符号，则函数　　在处不取得极值。3.3.2函数的极值(4)求函数极值的基本步骤由极值第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：（1）求函数　　的定义域。（2）求　　，解方程　　　　，求出驻点，找出使不存在的点。（3）用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察　　在各个子区间内的符号，判定出函数　　在子区间上的单调性，得到极值点。

7、（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数　　的全部极值。3.3.2函数的极值(5)举例例5求函数　　　　　　　的极值。解：因为函数的定义域为令得驻点列表分析x0(0,1)(-,0)1(1,+)+-+f(0)=0f(1)=-1所以，有极大值极小值3.3.2函数的极值(5)举例例6求函数　　　　　　　　的极值。解：函数的定义域为当是f(x)的不可导点，列表分析x+-f(2)=12(-,2)(2,+)所以，函数f（x）有极大值3.3.2函数的极值(6)训练题二求