非负可测函数L积分的定义及其等价性

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1、..o,o第20卷第3期纺织高校基础科学学报Vl20N3.20079eP,年月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESSt2007:1一一一文章编号0068341(2007)03024105非负可测函数L积分的定义及其等价性张永锋(咸阳师范学院数学系,陕西咸阳712000).:勒贝格积分理论是实变,摘要函数的核心关于勒贝格积分有不止一种的定义方法研究勒贝格积分的定义方法,,,从证明勒贝格积分不同定义的等价性对于简化和统一勒贝格积分定义不同角度理解和掌握勒贝格积分概念以及灵活运用勒贝格积分具有重要意义.采用分

2、割函数定义域和,函数勒贝,分刽函数值域以及用简单函数列退近等方法研究了非负可测格积分的定义给出了函数勒贝格积分的4种定义,,非负可浏并且仅从所给定义出发比较初等地证明了它们的等价性.:;勒贝格积分;定义;关键词非负可测函数等价性.::中图分类号01741文献标识码AO引言Lebes,engue积分(以下简称L积分)是实变函数论的中心论题L积分取代Riman积分是大学数学教.L积,L积,L育改革发展的必然关于分理论的研究特别是关于分定义的研究研究新的定义方法以简化,L积,,积分的定义证明各种定义的等价性以统一分的定义引起了国内外专家学者的广泛关注并进

3、行了一.[l6〕1EE许多深人的研究文献〔」利用非负可测函数在[f镇司上积分的极限定义了f(x)在有界可测集上的L积分;文献[2」利用非负递增简单函数列积分的极限定义了非负可测函数的L积分;文献[3]给出一了L积分的一种统一定义;文献〔46〕分别证明了测度有限集上有界函数或可测函数L积分几种定义的等价性.由于通常将一般可测函数的L积分定义为它的正部与负部两个非负可测函数L积分的差(要求其中至少一个积分值有限)[7〕.因此研究非负可测函数L积分的定义具有重要意义.本文将研究非负可测函数.,,,L积分的定义方法给出4种定义并且仅从所给定义出发比较初等地

4、证明它们的等价性文中可测集与.,可测函数均指L可测集与L可测函数且文中未说明的符号与概念见文献[7〕1非负可测函数L积分的定义,.1(l)设E是,定义R中测度有限的可测集了(x)是E上的有界函数对E的任一可测分划D一‘E~,,sux,‘nx,{E}(其中U凡各瓦为互不相交的非空可测集)令且Pf()b=iff()记工〔乓,〔气二一‘,x二。up‘‘,dx‘梦{“/“、{f()d一{交。m:小乃客户艺旦D‘)仁下二一二,二如果(),()则称f()在:上:.dxdx可积,且定义f(x)在万几E上的L积分为此共同值,,,(2)设E是R中的可测集f(x)是E

5、上的非负可测函数记:一一收稿日期20070112一,,,..:1957:g纯ng_20163作者简介张永锋()男陕西省淳化县人咸阳师范学院副教授E-mailzhanyong06@com242纺织高校基础科学学报第20卷二x,,x:,,x。x‘n,,,,,,,K={(⋯)日{簇i=12⋯g}1几=E门K.x)nx,nfn(=mi{f()}··“积:二,d二一、(X,贝。定义分“,({兜fdx{{.“,定义2设E是R中的可测集f(x)是E上的非负可测函数,,(l)若E为有界集对[o+co)上任一分割:。‘,‘,HO~y

6、,。,,‘sup(少‘。,,夕*,夕‘,苏mE一,、记又(H)=一夕)三=E〔(f<〕云(Hf)=艺(Hf)艺mE任取分,,,,,·:XX:镇:,(。一、。表示。是。一的力口细)、(H)一。定义L积分,(,d割列HH(⋯(H镇⋯{,,,,,.。aa为当又(H)一。时沂(Hf)与(Hf)的共同极限(此处。((+co)·:X、X.‘2,若““无”集贝”定义“积分为“,dx一了(,“,{辣{(其中E与定义1(2)相同),,,,,,,a,a注在定义2(l)的假设下当双H),o时武Hf)与a(Hf)趋于同一极限且极限不依赖,.于分割列{H}的选取而惟一确定(

7、直接由定义可证,见文献〔8」)定义3设E为R“中的可测集.月(‘’设X,一C“乓(X,为“上的非负简单函数“,‘,抓淇中~U尽各E为互不相交的可测集菩‘=L‘’x二,E二“‘mE、(,“;的特征函数,则定义“积分为,‘,dx-全{(2)设f(x)为,L积E上的非负可测函数则定义分为·E二二:X二,,(,dp*(,d,*为“上简单函数且。成,镇了{一{{}“,x,定义4设E是R中的可测集f()为E上的非负可测函数则定义L积分为··E二)一E,(二,,(“浊dx{{,。.X,*X二,E二其中{二()}为:上习卜负渐升简单函数列且悠()dx一f()*()

8、、的意义见定义3的(1){,注1定义4中的简单函数列是存在的(见文献「7〕定理7的证明)还可证明这一积分列的极限不依:.赖