可测函数的定义与性质概述

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1、第11讲可测函数的定义与性质目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其性质，掌握常见的一些可测函数。重点与难点：可测函数的引入，性质的证明。第11讲可测函数的定义与性质基本内容：一．可测函数的定义为了定义新的积分，我们已经对Rn中的一般集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中的确存在一些集合，它们是不可测的，因此，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上的函数f，考察形如第11讲可测函数的定义与性质的集合这可测性,假如对一切的上述集合都是可测的，则下面的和式就有意义了（见本书的引言），从而可以讨论其极限的存在性，本章的目的，

2、就是研究使得集合第11讲可测函数的定义与性质对一切都可测的函数之结构。（1）关于∞的运算由于我们允许函数值取，所以需作一些规定，我们所讨论的函数都是指单值实函数，并且规定（i）（ii）对任意第11讲可测函数的定义与性质（iii）对任意（iv）但是第11讲可测函数的定义与性质及是没有意义的，因此，不允许作这种运算。（2）定义定义1假设是可测集，是E上的函数，如果对任意常数a，集合都是可测集，则称f是E上的可测函数。第11讲可测函数的定义与性质问题1：为了定义函数的Lebesgue积分，须要求这些函数满足什么条件？问题2

3、：列举几类可测函数的例子？第11讲可测函数的定义与性质（3）简单函数的可测性定义设是可测集,E1，E2，…，En是E的互不相交的可测子集，且C1,C2，…,Cn是常数，则称E上的函数为简单函数。www.hzdiyan.comwww.sysmk120.comwww.qcxgqt.comwww.tcsac.comhttp://sj.39.net/dxhttp://www.tuloutours.com/http://sj.39.net/dx/150910/4694207.htmlhttp://sj.39.net/dx/15

4、1205/4738748.htmlhttp://sj.39.net/dx/151205/4738750.htmlhttp://sj.39.net/dx/151205/4738751.htmlhttp://sj.39.net/dx/150910/4694176.htmlhttp://sj.39.net/dx/150907/4692216.htmlhttp://sj.39.net/dx/150905/4691645.htmlhttp://sj.39.net/dx/150902/4691147.htmlhttp://sj.

5、39.net/dx/151207/4739192.htmlhttp://sj.39.net/dx/151207/4739197.htmlhttp://sj.39.net/dx/151207/4739201.htmlhttp://sj.39.net/dx/151207/4739215.htmlhttp://sj.39.net/dx/150902/4691141.htmlhttp://sj.39.net/dx/151208/4740618.htmlhttp://sj.39.net/dx/151208/4740619.ht

6、mlhttp://sj.39.net/dx/151209/4741159.htmlhttp://sj.39.net/dx/151209/4741163.htmlhttp://sj.39.net/dx/151209/4741170.htmlhttp://sj.39.net/dx/151209/4741172.htmlhttp://sj.39.net/dx/151210/4741687.html第11讲可测函数的定义与性质记为的特征函数，则显然有命题1对任意可测集E，E上的简单函数是可测的。证明：设是E上的简单函数，不失

7、一般性，假设第11讲可测函数的定义与性质（若，则将看作某个Ek），往证对任意是可测集。显然，第11讲可测函数的定义与性质所以是可测集。证毕。（4）非负函数可测性的等价定义如果可测函数，则称其为非负可测函数。定理1如果是可测集上的非负函数，则下列各陈述相互等价：第11讲可测函数的定义与性质（i）在E上非负可测；（ii）存在E上的非负简单函数列使得证明，其中第11讲可测函数的定义与性质是E上的非负简单函数，满足则对任意实数a及任意是可测集，但故是可测集。(i)(ii)假设f是E上的非负可测函数，即第11讲可测函数的定义

8、与性质任意实数a,是可测集,不难看到故是可测集，于是对任意常数a，b，集合也是可测的。第11讲可测函数的定义与性质对任意正整数m及令则是互不相交的可测集，且定义简单函数第11讲可测函数的定义与性质可以证明（请读者自行验证）。下面证明若使则对任意，所以若则可取正整数则当时，第11讲可测函数的定义与性质因此。证毕。由于定理1中（i）与(ii)的等价