1991三种凸性函数的判别准则

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第8卷第2期重庆师范学院学报(自蒜科学版)1991年●月JOURNALOFCHONGQINGTEAGHER$coLLE(3EVo1．8No．2(Natur81Scie11ceEditi。n)Jun．1991三种凸性函数的制别准则杨新民(数学系)捆l：本文给出了凸函数，严格凸函数和显凸函数的一些手别准则它们中的一些是对文：1—3：中结果的改进和推广，另一些是全新的结果。关■词：凸函数，严格凸函数显凸函数引言凸函数和严格凸函数已在最优化的各个领域有广泛应用，且在不动点理论，逼近论和临界点理论等许多学科中也时常用到

2、。为讨论数学规划问题，最近，薛声家教授等在[11中还提出了一种新凸性——显凸函数。本文的目的是给出凸函数，严格凸函数和显凸函数的一些判别准则，改进和推广了[1—3]中的结果1概念设cE冗是一个非空凸集，堤定义在c上的实值函数。定义l若对任意，∈C，以及任意^∈(O，1)，有fO,x+(1一^))≤f()+(1一)f()Ⅲ0称f()是x上的凸函数。定义2若对任意X，∈C，≠，以及任意^∈(0，1)，有，(+(1一^))

3、一))，满足^—，及^∈A由于闭，所以_∈A。-同理，设

4、=2z+(1一^)，∈(O，1)。并令^=sup{^∈(O，1)lyA∈A}类似地可证，当^>时，A，但∈．易知(，疗)n=但xrEA，∈A这显然与假设相矛盾。定理1若f()是闭凸集c上的下半连续函数，对任意，EC存在o∈(0，1)，有f(ao+(1一o))≤口of()+(1一)f()刚f0)是C上的凸函数。证Nf(x)是C上的下半连续函数，所以有f是闭集：。又因对任意(，)，(，")∈f，即f()≤，f()≤，存在口o∈(0，1)，有，f(a口j。十(1一4))≤o，()+(1一d)，()≤盯口+(1一)F从而(o+(1一e)，。+(1—o)u)∈砷if

5、，即0(，)+(1一。)(掣，)∈f，于是，由引理知f是凸集救f()是c上的凸函数。推论1若f@)是闭凸集C上的下半连续函数，若存在o∈(0，1)，对任意，∈C有，f(a0+(1一口))≤。f()+(1一o)f()刚f()是c上的凸西数。注。推论1在闭性条件下推广了[3J中定理1。推论2若f()是闭凸集c上的下半连续函数，若存在o∈(0，1)，对任意，∈c，，有f(a。+(1一0))

6、f()≠f()时，有f(a口+(1一0))<口0，()+(1一0)，()Ⅲ0f()是C上的凸爵数。维普资讯http://www.cqvip.com第2期杨新民：三种凸性函数的判别准则l证出定理1，我们只需证明对任意，∈C．存在。∈(0，1)，使褥f(a。4-(1一o)掣≤。f()+(1一)()。假若不真，则存在，∈C，有f(ax+(1一口))>口f()4-(1一a)f(D，∈(0，1)，(1)如果f()≠f(D时，由条件得f(ad4-(1一o))，(

7、)=f()，r∈(0，1)，(2)由定理条件和(2)有，()<，((口。+1一口o)+o(1一))=f(a。(ax+(1一口))+(1一口o)]

8、件下改进了[1]中定理2．1文献[1中提出了凸函数概念并用例子说明