有关等价无穷小量代换问题的讨论

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1、有关等价无穷小量代换问题的讨论摘要：文章依据教学过程中遇到的两类求极限的例题，提出了无穷小量差运算的等价代换和幂指函数的无穷小量代换问题，并对这两类极限问题在理论上给出了解决的方法.　　关键词：等价无穷小量代换幂指函数极限　　　　在讲授利用等价无穷小量求函数极限的过程中，学生在解决下面两类例题中遇到了一定的问题.　　类一：（1）（2）　　（1）的正确解法：=　　错误解法：==0　　（2）的正确解法：=-　　=-=1-=　　错误解法（暂时认为是错误的）：　　===　　针对这两个例题的不同做法，有以下问题需要解决。　　第一：第（2）个题目的“错误做法”是否真是错误的？因为两种做法的答案是相同的，

2、我们有理由认为第二种做法可能是正确的。　　第二：如果（2）的第二种做法正确，那么（1）的第二种做法为什么不可以呢？　　第三：和差运算满足什么条件时，就可以进行等价无穷小量的代换？　　类二：（3）（13xx）（4）（1-sinx）　　（3）的正确解法：　　（13xx）=（13xx）　　=（13xx）=e=e　　错误解法（暂时认为是错误的）：　　（13xx）=（13xx）　　（4）的正确解法：　　（1-sinx）=（1-sinx）　　错误解法（暂时认为是错误的）：　　（1-sinx）=（1-x）=（1-x）=e　　对这两个例题，有以下问题需要解决.　　第一：幂指函数的底函数或指函数为无穷小量时，

3、是否可以做无穷小量的代换？　　第二：（1α（x））（1α′（x）），α（x）~α′（x）（x→）　　定理1：设α~α′，β~β′，当lim=B≠-时，mαnβ~ma′nβ′，其中，m，n均为非零实数.（上述等价无穷小和极限均是在同一极限趋向下的表达式.）　　证明：lim=lim　　由定理1可以看到：在（1）中，因为=1=-，所以此时不能分别采用等价无穷小的代换.而在（2）中，因为=≠-=1，所以当x→0时，tan5x-sin2x—5x-2x，可以代换.即（2）的第二种做法是正确的，只是在做题过程中学生需要验证所做题目是否满足定理1的条件.同时，定理1还告诉我们和差运算中可以实行等价无穷小量代

4、换的条件.　　定理2：设α~α′，β~β′，且limα′=A存在，则有lima=limα′.（上述等价无穷小量和极限均是在同一极限趋向下的表达式.）　　证明：limα=limα′