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1、第26卷第4期菏泽师范专科学校学报2003年11月Vol.26No.4JournalofHezeTeachersCollegeNov.2003文章编号:1003一6318(2004)02一0017一02应用等价无穷小量的代换方法求极限范晓兰(中国工程物理研究院职工工学院，四川绵阳621900)摘要:为了简化极限的运算过程，对一些不易求解的极限问题化繁为简.利用无穷小量的代换性质推导了3种计算方法，并举例说明了应用这些方法求函数的极限.关键词:无穷小量;等价无穷小量;极限中图分类号:0172文献标识码:A方法1设在自变量的某一变化
2、过程中，0前言a(x),P(x),aI(x)、R'(x)都是无穷小量.极限及其计算是微积分学的重要基础.因此，计(1)若a一a"g(x)为同一过程中的另一函算函数的极限就成为微分学中很重要的一部分内数，且lima曹(x)二A，则limag(x)=A容，而简化极限的运算过程是求出函数极限的关键，(2)若。一。',a一P,,f(x)为同一过程中的为此，本文利用无穷小量的代换性质提出了等价无，则limlmafx也存在，穷小量的3种代换方法，用于简化极限的运算过程..拟lim甲存在尸且lim令一lim乎1等价无穷小量的代换方法，.「a，
3、__，、飞_证明(1)因limag(x)=LimI万’ag}x，I一利用无穷小量的代换性质求函数的极限.即将L口、J,.a,.，1、分式函数中的分子、分母，用与其等价的无穷小量来um/.umagkx)lima'9(x)住代换.所以limag(x)=limag(x)=A"廷生In(1+夕妥二几)af(x)_口夕一-例1求lim」厂一一下产----(2)因为limlim{a艺(x▲arcsin2-J一1廷夕=lim星Ax)解因为当x~1时，几-0,2沪x2一19~0~_、一_所以故当1时，In(1+夕诬一1)一Jx一1，及一护方法2
4、设在自变量的某一变化过程中，arcsin2-1一2沪x2一1,a(x),p(x),Y(x)及a'(x)4(x),Y'(x)都是无于是穷小量.1一11-13原式=lim书s-I二lims,-李万=，刁白丫x-l，、/，‘_一l1=-i斌r,十1“，若a一‘IR一“‘，且“m含存在在求解上述例题时，利用无穷小量的代换性质求函.ima共一1数的极限，使间题简化.但是，该性质的使用具有一p)，贝”有‘▲+“，一(▲‘+“”(2若定的局限性.例如，函数是乘积因子、代数和及未定一a,,R一R'，且lim号存在"尸式的极限等问题都无法解决，因
5、此，本文根据无穷小.im鱼判洲，则有(。一a)一(。’一a'>量的代换性质提出了以下代换方法.收稿日期2003一03一10作者简介范晓兰(1965一)，女，讲师，主要从事理论学中的基础研究.2004年菏泽师范专科学校学报第4期(3若a解因为当x->0时，sinx一x，tanx一一。"R一洲,Y一丫，且lim答存在"尸x,e'一1一x生并l月m汀-1J、..)，则有“m一1产sinudu‘所以原式=lim-"-—4一z，一一--=证明(1)因为lim工州气Jx.x广2卫(ez一1)·丁sinudulim立卫.浮-一hm一一一一一c
6、__5应用罗必达法rUU.:ca'+‘1「2.，，!sinuau1-一-6me一I-1l又因a护一1，故上式等于1.则)产司xx4=lim万一‘Im户-2X所以(a+p)一(a}+召‘)2x工，;_x2.2x=工同理可证得(2)成立.4x3一6:z}4x312在求解本题时，我们将等价无穷小量的代换方(3)由(1)可得lima+一lim-a二牛卫二.故(3)YY法及罗必达法则结合起来应用，使问题更简化.也成立.arctan2x+arcsin5x例3求lim方法3设在自变量的某一变化过程中，x-"osin3x解因为当x~0时，arc
7、sin5x一5x，a(x),P(x),al(x),p,(x)都是无穷小量.Zx2一sx-一-5笋(1)若a一。’，a一汀，则对于未定式100型有:arctan2x一2x，sin3x一3x，而且limlirn.(1+。)R1一lim(1+。，)W1一12x+5x7((2)若。一。，，月一夕，，则有lim(B、。)去-所以原式=lim应用方法:)甥3x=Jlim(。十。·)声，其中。(x)~1且lim夕~a毕护一1.例4求lim(arcsin3x+cos2x片证明(1)在自变量的某一变化过程中解因为当X-0时，arcsin3x--3
8、x,cos2xl咔(1+a)一[(1+。)a1〕与。一1，而且limcos2x一10笋一1X-aarcsin3x同理(1。，)R~。ehta"生所以原式lim(3x+cososZ2x)=I=lim(3x+l月-一m洲又因为limcos2x)鑫3(应用方法3)所以
