等价无穷小量的运用

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1、无穷观下等价无穷小量的运用摘要：本文简要介绍了无穷观思想的发展历程及等价无穷小量出现的背景，了解相关的数学史有助于更深入的学习无穷观的思想。掌握等价无穷小量的性质，可以在求解极限和判断正项级数的敛散性中灵活运用。本文通过对不同条件下等价无穷小量的应用的举例，切实体会到运用等价无穷小量是使复杂问题简单化的有效手段。同时还要避免错误的利用等价无穷小量。关键词：无穷观；等价无穷小；极限Abstract:Thispaperbrieflyintroducesthedevelopmentprogressofinfiniteviewsandthebackgroundofequivalen

2、ceinfinitesimal,knowingtherelevantmathhistoryisbeneficialforthedeeplearningoftheinfiniteviewsandgraspingthequalitiesofequivalenceinfinitesimalcontributestotheflexibleapplicationinsolvingthelimitationandjudgingthepositiveseries.Accordingtotheappliedexamplesofinfinitesimalindifferentconditio

3、ns,werealizethatusingtheequivalenceinfinitesimalistheequivalenceinfinitesimalistheeffectivewaytomakecomplexproblemssimplified.Andatthesametimeweshouldavoidusingtheequivalenceinfinitesimalmistakenly.Keywords:theinfiniteview;equivalenceinfinitesimal;limit史鉴使人明智，诗歌使人巧慧，数学使人精细，博物使人深沉，伦理之学使人庄重，

4、逻辑与修辞使人善变。教育发展至今，数学已经成为必不可少的一门学科就是因为“数学使人精细”。由于数学的抽象程度高，因此数学理论并不是一目了然的，需要进行深入的分析论证，经过反复的思考才能得到理解。这种理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又靠对思维过程的不断更新才能达到。因此，独立思考，随时对思维过程进行反思，及时地获取新知识和新方法，是学好数学的必要手段，随之形成严密的思维方式。两千年来的三次数学危机都与，如因为无理数的出现在古希腊引起第一次危机，因为“无穷小悖论”第10页（共10页）在欧洲引起第二次危机，因为“罗素悖论”而引起第三次危机。可以说，“无穷”是学习数学的必要条

5、件。无穷这个数学中的基本概念，更是高等数学中的一个重要概念。大学数学中高等数学、数学分析的学习中，首先是了解无穷观思想这对于数学相关专业的学生后续课程的学习有着直接的影响。1无穷思想的出现与发展17世纪下半叶，牛顿、莱布尼茨创立的积分学，用了无穷小量的概念，但因对其解释含糊不清，出现了贝克莱悖论，导致数学史上的第二次数学危机。19世纪，柯西、魏尔斯特拉斯等人引入极限论、实数论，使微积分理论严格化，从而避免了贝克莱悖论，圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时，极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了的幽魂”被排斥在了数学殿堂之外。1960年，美国数理逻辑学家A·鲁滨逊

6、指出:现代数理逻辑的概念和方法为“无限小”、“无限大”作为“数”进入微积分提供了合适的框架，无穷小量堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，被认为是“复活了的无穷小”。这样微积分创立300年后，第一个严格的无穷小理论才发展起来。回顾微积分学发展的历史，无穷小分析法——极限方法——无穷小分析法，否定之否定，微积分学基础获得了进一步发展。认真考察无穷在数学中的发展历程，可以注意到在无穷思想中一直存在着两种观念：实无限思想和潜无限思想。所谓实无限思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷

7、整体。所谓潜无限思想是指：把无限看做永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释；它永远处在构造中，永远完成不了，视无限为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。数学中无限的历史实际上是两者在数学中合理性的历史。亚里士多德只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。第10页（共10页）集合论是现代数学乃至现代科学的基础，集合论还可以看成是研究无穷的理论。准确把握大学数学极限论及集合论的无穷概念，基本有这三种类型：无穷大、无穷小及无穷多，对应到高等数学、数学分析及集合论中无穷概念为：定义(