等价无穷小量替换定理.docx

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1、页眉§2–6无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若limc（c为常数）则（1）当c≠0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；（2）当c=0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)(读作小欧α)；（3）当c=1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。2、无穷大的比较定义2设Y、Z是同一极限过程中的两个无穷大量，（1）如果Z=c0Ylim与Z是同阶无穷大量；Y≠，则称（2）如果limZ=∞时，则称Z是Y的高阶无穷大

2、量；Y（3）如果limZ=c≠（0k＞0），则称Z是关于（基本无穷大量）Y的k阶无穷大量。Yk3、无穷小的阶与主部定义3把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与k（k＞0）是同阶的无穷小，即limk=c≠，0则称β是关于α的k阶无穷小。重点难点突破1．关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。注意（1）符号β=O(α)与β～α的含义β=O(α)表示β是α的高阶无穷小，即lim0；β～α表示β与α是等价无穷

3、小，即lim1（1）同阶不一定等价，等价一定同阶。（2）利用等价无穷小求极限等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换：若α～αˊ，β～βˊ，且lim存在，则lim=lim无穷小量的比较表设在自变量xx0的变化过程中，(x)与(x)均是无穷小量无穷小的比较定义记号1/3页眉(x)是比(x)高阶的无穷小lim(x)0(x)(x)(x)xx0（xx0）(x)与(x)是同阶的无穷小lim(x)C(C为不等于零的常数)(x)xx0a(x)与(x)是等阶无穷小lim(x)1(x)~(x)xx

4、0a(x)（xx0）2．关于无穷小的阶当x→0时，由恒等式（ⅰ）o(xn)+o(xm)=o(xn)0＜n＜m（ⅱ）o(xn)o(xm)=o(xm+n)m＞0,n＞03．关于无穷小的替换定理设当xx0时，1(x)~2(x)，1(x)~2(x)，lim2(x)存在，则lim1(x)2(x)．xx02(x)xx01(x)2(x)解题方法指导1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）：例1当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小①x-3x3+x5②sinxtgx解：①因为当x→0时，在x-3x3+x5

5、中3x3与x5都是x的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ）limx3x3x51x0x所以，当x→0时，x-3x3+x5是x的一阶无穷小②因为当x→0时，sinx～x，tgx～x，由恒等式（ⅱ）可得sinxtgx1sinxtgx=o(x2)，即limx2x0所以，当x→0时，sinxtgx是x的二阶无穷小（2）先将原式变形，再判断阶数例2当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小①1x1x②tgx–sinx解：①通过分子有理化将原式变形1x1x=2x1x1x由此看出，当x→0时，1x1x是x的一阶无穷小，事实

6、上lim2x1x1x)x0x(1②通过三角函数的公式将原式变形2/3页眉sinxsinx(1cosx)tgxsinxsinxcosxcosx因为sinx～x，1-cosx～1x22由此看出，当x→0时，tgx–sinx是x的三阶无穷小，事实上sinx(1cosx)x?1x21lim2lim3?cosx3?cosx2x0xx0x此题错误解法：解：因为limtgxsinxlimtgxsinx0x0xx0xx所以，当x→0时，tgx–sinx是x的一阶无穷小这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义，β与

7、k比的极限不能为零。2．利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有：当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1,1cosx~1x2,2x~sin2x~tan2x．2例5求下列函数的极限1cosx，（2）limtanxsinx（1）lim3x2x3．x0x0（1）lim11x210,1cosx~1x2）．解cosx=lim2（xx03x2x03x262（2）limtanxsinx=limsinx(1cosx)sin3xx3cosxx0x0limsinx(1

8、cosx)1xx2cosxx02sin2x=limx22x0=1（x0,sin2x~x2222）．小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错．如上题limtanxsinxlimxx0,即得一错误结果．x0sin3xx0x33/3