绝对收敛与条件收敛

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1、第十一章第三节任意项级数的审敛法一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法1.定义交错级数:n−1u1−u2+u3−L+(−1)un+L（un>0）定理11.6(莱布尼茨审敛法)若交错级数满足:1)un≥un+1(n=1,2,L);2)limun=0,称满足条件n→∞∞1),2)的级数n−1S≤u则∑(−1)un收敛,且其和1,为莱布尼茨n=1交错级数其余项满足rn≤un+1.证明思路：limS2n=S,limS2n−1=S⇒limSn=Sn→∞n→∞n→∞证1º先证部分和数列S单调增加且有上界.2nQS2n=(u

2、1−u2)+(u3−u4)+L+(u2n−1−u2n)=S2n−2+(u2n−1−u2n)≥S2n−20≤un递减+S2n=u1−(u2−u3)−(u4−u5)−L−(u2n−2−u2n−1)−u2n≤u1∴{S2n}单调增加且有上界∴limS=S≤u2n1n→∞2º再证limS2n−1=Sn→∞又limS2n+1=lim(S2n+u2n+1)=limS2n=Sn→∞n→∞n→∞∴limS=S,nn→∞故级数收敛于S,且S≤u1,Sn的余项:rn=S−Sn=±(un+1−un+2+L)rn=un+1−un+2+L仍为莱布尼茨≤u.交错级数

3、n+1注1º莱布尼茨定理中的条件(1)可换成：u≤u(n≥N)n+1no2{u}不单调n∞n−1⇒/∑(−1)un(un>0)发散;n=1∞n2+(−1)nn−12+(−1)反例：对于∑(−1)n，un=n>022n=1虽然{u}不单调，事实上，n123nu==u=,2+(−1)2k−122k−122k<2k22kun=n231u=>u=2k22k2k+122k+1∞2+(−1)n∞但(−1)n−11n−11]∑n=∑[(−)−n收敛n=12n=122o3{u}单调增加n∞⇒(−1)n−1u(u>0)发散;(Qlimu≠0)∑nnnn→∞

4、n=1例1证明交错级数：∞n−1111n−11∑(−1)=1−++L+(−1)+Lp2p3pnpn=1n(p>0)收敛，并估计其余项r.n1解因un=p→0(n→∞),需证un递减趋于零n11且un=p≥p=un+1n()n+1由莱布尼茨审敛法知级数收敛，1且rn≤un+1=p()n+1注1º取p=1,得收敛级数∞()−1n−111n−11∑=1−+−L+()−1+Ln=1n23n∞(−1)n−1和为ln2,即∑=ln2(第五节)n=1n绝对值级数∞n−11∞12º∑(−1)收敛,但∑发散.n=1nn=1n∞∞问题:∑un与∑un敛散性的

5、关系？n=1n=1二、绝对收敛与条件收敛1.定义∞∞（1）∑un绝对收敛：若∑un收n=1n=1敛；∞∞∞（2）∑un条件收敛:若∑un收敛，但∑un发散.n=1n=1n=1∞例n−11∑(−1)收敛,如：∞条件收敛,01.n=1npn=12.定理(绝对收敛与收敛的关系)∞定理11.7若级数∑un绝对收敛，则该级数必收敛.∞n=11证设∑un收敛,令vn=(un−un)n=12∞则0≤vn≤un,由比较审敛法知∑vn收敛,n=1而u=u−2v,由收敛

6、级数的基本性质，nnn∞∞∞∑un=∑u−∑2vn收敛.∞∞n=1n∑u,∑2vn=1n=1nnn=1n=1∞∞注∑u收敛⇒?∑u绝对收敛均收敛nnn=1n=1∞sinn!例2级数∑条件收敛、绝对收敛还是发散？2n=1nsinn!1∞1解Qun=2≤2,而∑2收敛,nnn=1n∞sinn!∴∑收敛2n=1n∞sinn!即∑绝对收敛.2n=1n∞n(−1)n例3判定交错级数∑的敛散性.n+10n=1nn解u=，v=(−1)unnnn+10o1绝对收敛性n1Qv=u=≥(n≥1)nnn+10n+10∞1∞而∑发散,∴∑vn发散n=1n+10n

7、=1o2条件收敛性n分析需判定u=递减、趋于零nn+10n令xun==f(n),f(x)=(x>0)n+10x+101⋅(x+10)−x10−xQf′(x)=2x=2(x+10)22x(x+10)<0(x>10)∴当x>10时，f(x)单调减少，故当n>10时，f(n+1)10)n+1nn1又Qlimu=lim=lim=0nn→∞n→∞n+10n→∞10n+n∞n(−1)n∴由莱尼布茨判别法知∑收敛.n+10n=1∞n(−1)n综合1º,2º可知：∑条件收敛.n+10n=1注1º用莱布尼茨判别法判断交错级数∞∑(−

8、1)n−1u(u>0)nnn=1是否收敛时，要考察{u}是否单调减少，通常n有以下三种方法：u?on+1≤1(n≥N)1比值法：un?ou−u≤n≥N2差值法：n+1n0()o3函数法：由un