绝对收敛与条件收敛

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1、绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为或其中，un0(n=1,2,…)定理(莱布尼兹判别法)若交错级数满足条件(1)(2)unun+1(n=1,2,…)则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)证只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.1)取交错级前2m项之和由条件(2)：unun+1，un0,得S2m以及由极限存在准则：2)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述，有例1.讨论级数的敛散性.解：这是一个交错级数，又由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.例2.判别级数的敛散性.解：这是一个交错级数，又令x

2、[2,+)，则x[2,+)，故f(x)[2,+)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛.解原级数收敛.二、任意项级数及其敛散性(1)级数的绝对收敛和条件收敛定义：若级数对收敛的；若级数但级数定理：若(即绝对收敛的级数必定收敛)证：un

3、un

4、从而上定理的作用：任意项级数正项级数解故由定理知原级数绝对收敛.定理(达朗贝尔判别法)设有级数若(1)<1时,级数绝对收敛；(2)>1(包括=)时，级数发散；(3)=1时，不能由此断定级数的敛散性.例5.判别级数的敛散性.解：由P一级数的敛散性，即原级数绝对收敛.例6.判别的敛散性，其中，x1为常数.解：

5、记当

6、x

7、<1时，=

8、x

9、<1,原级数绝对收敛.当

10、x

11、>1时，=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但

12、x

13、>1时，从而，原级数发散.例6.级数是否绝对收敛?解：由调和级数的发散性可知，故发散.但原级数是一个收敛的交错级数：故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.性质2.两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.小结1、交错级数(莱布尼茨定理)2、绝对收敛与条件收敛作业：P127：2(1)-(8)