条件收敛与绝对收敛

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1、第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数，我们已经给出了其收敛的一些判别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质—条件收敛与绝对收敛。定义10.5对于级数，如果级数是收敛的，我们称级数绝对收敛。如果发散，但是收敛的,我们称级数条件收敛。条件收敛的级数是存在的，如收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反

2、之则不然.证明：设级数收敛，即收敛，由Cauchy收敛准则,对,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成立着于是:再由Cauchy收敛准则知收敛。由级数可看出反之不成立。注：如果正项级数发散，不能推出级数发散。但如果使用Cauchy判别法或D’Alembert判别法判定出发散，则级数必发散，这是因为利用Cauchy判别法或D’Alembert判别法来判定一个正项级数为发散时，是根据这个级数的一般项

3、an

4、当时不趋于0，因此对级数而言，它的一般项也不趋于零，所以级数发散。例10.38讨论级数的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对

5、收敛。解，当时,由于所以级数发散.当时,因为而收敛，所以原级数绝对收敛。当时,因un–un+1==>=故{un}单调减少,且由Leibniz判别法知收敛，显然发散，所以当时级数条件收敛。前面已经指出，一个收敛级数（不论是绝对收敛或条件收敛），将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个性质称为收敛级数满足结合律。下面我们讨论收敛级数的交换律。设是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新级数记为，我们有下列定理:定理10.18设级数绝对收敛，则重排的级数也是绝对收敛的，且其和不变。证明：先设是正项收敛的级数，此时有=M,对m

6、=1,2,…,均成立即正项级数的部分和数列有界，从而收敛，且而正项级数也可看成是的重排,从而也有所以=对一般项级数，设收敛记un=,vn=,n=1,2,…,显然有0,0,由比较判别法知正项级数与均收敛。因而重排后的级数与也收敛，且有==从而，级数=也收敛，即绝对收敛，且有===–==下面我们讨论条件收敛级数的重排:定理10.19（Riemann）设是条件收敛级数,则(1)对任意给定的一个ξ，必存在的一个重排使得=ξ;(2)存在的重排级数使=(或)证明：记un=,vn=n=1,2,…显然,都是正项级数，且有un=vn=0易证

7、得和均发散（请读者自行证明）现考察序列a1,a2,…,an,…,(*)用pm表示数列(*)中第m个非负项，用Qm表示其中的第m个负项的绝对值。显然{pm}是{un}的子列，{Qm}是{vn}的子列，({pm}为{un}中删去了一些等于零的项后剩下的数列)，因此pm=Qm=0我们依次考察p1,p2,…中的各项，设为其中第一个满足以下条件的项p1+p2+…+>ξ再依次考察Q1,Q2…中的各项，设是其中第一个满足以下条件的项。p1+p2+…+–Q1–Q2–…–<ξ再依次考察++…中的各项，设是其中第一个满足以下条件的项。p1+p

8、2+…+–Q1–Q2–…–+++…+>ξ照此下去，我们得到的一个重排如下p1+p2+…+–Q1–Q2–…–+++…––…–++…再分别用Rk与Lk表示级数的末项为的部分和与末项为的部分和，则有

9、Rk–ξ

10、,k=2,3,…否则与的选取有矛盾。同理有

11、Lk–ξ

12、,k=1,2,3,…因为==0∴Rk=Lk=ξ因为级数的任一部分和必介于某一对Lk与Rk之间，所以也应有=ξ即=ξ（2）首先，任意选取一个严格单调上升并趋于+的实数，列{ξk}（例如,可选ξk=k,k=1,2,…）.其次，用pk表示序列{}中的第k个非负项，用Qk表示序

13、列{}的第k个负项，设pm是p1,p2,…中第一个满足以下条件的项p1+p2+…+>ξ1设是Q1,Q2,…中第一个满足以下条件的项p1+p2+…+–Q1–Q2–…–<ξ1再依次考察++…中的各项,设是其中第一个满足以下条件的项p1+…+–Q1–…–++…>ξ2再依次考察,…中各项，设是其中第一个满足以下条件的项，p1+…+–Q1–…–++…––…–>ξ2依次做下去，我们得到的一个重排,这个重排级数满足条件同样可以得到一个重排，使得下面我们考察两个级数的乘积。设与是两个级数,将()()定义为下列所有项的和由于级数运算一般不满

14、足交换律与结合律。所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式对角线排序法和正方形排序法。定义10.6a1b1a1b2a1b3a1b4…a2b1a2b2a2b3a2b4…a3b1a3b2a3b3a3b4…a4b1a4b2a4b3a