欢迎来到天天文库
浏览记录
ID：40775634
大小：233.76 KB
页数：11页
时间：2019-08-07
《绝对收敛级数和条件收敛》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§9.5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质定理1对于级数,将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个级数记为.将它的所以负项变号(乘上因子-1)而将正项换为0,也组成一个正项级数记为亦即那么(i)若级数绝对收敛,则级数和级数都收敛;(ii)若级数条件收敛,则级数和级数都发散证明(i)若级数绝对收敛,由于按比较判别法,级数和级数都收敛.(ii)若为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论.假设级数和级数中至少有一个是收敛的,不妨假设为收敛级数,那么,由于于是得知亦必为收敛.又由于,所以得知级数绝对收敛,此与已知条件矛盾,因此证明了两个级数和都发散.定理2
2、绝对收敛级数的更序级数仍为绝对收敛,且其和相同,证明(i)我们先证明当为收敛的正项级数的情形.考虑更序级数的部分和.因为所以,取大于所有下标后,显然有又由于正项级数,于是对一切成立按照正项级数收敛的基本定理,更序级数亦收敛,设其和为,故有,另一方面级数也可视为级数的更序级数故又有,得知(ii)再来证明为任意绝对收敛级数的情形.仍旧记级数和分别为的所有正项和所有组成的级数.由定理1知道,这两个级数都收敛,设它们的和分别是和,则有由(i)中的结论知道,的更序级数成立着这就表明了更序级数是绝对收敛的.再设和分别为级数和的更序级数.由(i)的结论知道而,
3、所以这样就证明了定理.注意：这个定理对条件收敛级数而言，却不一定成立，例如莱布尼兹型级数定理3(柯西定理)若级数和都绝对收敛,其和分别为和,则它们各项之积按照任何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为.(证明略）例如：级数绝对收敛，将其自乘得到什么结果TheClassisover.Goodbye!
此文档下载收益归作者所有
