§3-8晶格热容的量子理论

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1、§3-8晶格热容的量子理论Quantumtheoryoflatticethermalcapacity一、晶格热容理论（CV）；二、晶格热容CV计算模型；Ⅰ.爱因斯坦(Einstein)模型；Ⅱ.德拜(P.Debye)模型。一、晶格热容理论（CV）固体的热容量是原子振动在宏观性质上的一个最直接的表现。实验表明：◆在室温和更高的温度下，几乎全部单原子固体的热容接近3NkB，即杜隆—珀替定律；◆在低温情况下，固体比热容与T3成比例，渐趋于零。固体热容主要来自两部分贡献一是来源于晶格热振动，称为晶格热容；是晶格热容的主要贡献，是本节的主要讨

2、论内容；一是来源于电子热运动，称电子热容；一般贡献很小，除非在很低温度情况下。求解CV的一般方法第一步：写出的表达式；第二步：代入公式计算CV。其中，是指固体的平均内能。固体中的热容一般指定容比热容CV，在热力学中，杜隆——珀替定律根据经典统计理论的能量均分定理，每个简谐振动的平均能量为kBT，kB是玻耳兹曼常数。设体系有N个原子，则有3N个简谐振动模式，则总的平均能量为：则晶格热容为：低温下晶格比热下降为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克量子假说，第一次提出了量子热容量理论。表明：晶格热容是一个与温度和材料性质无关的常数。这条规

3、律在高温时，与实验符合得很好，但在低温时，热容不再保持为常数，而是随T下降而很快趋于0。如图“低温下晶格比热下降”所示。P123图3-20低温下晶格比热下降（1）晶体平均能量E（1）U表示原子静止在平衡位置时的晶体能量；（2）后一项是晶格振动能量，其中nj是一个振动模式的平均声子数。量子热容理论简谐振动的能量本征值为：其统计平均能量为：……注：P123（3-121）式（2）一个简谐振动（频率为ωj）对CV的贡献量子热容理论………P123（3-121）式一个简谐振动（频率为ωj）对CV的贡献一个简谐振动（频率为ωj）对CV的贡献（3）

4、晶格总热容设晶体中包括N个原子，共有3N个简谐振动模式，则可见，但是，对于具体晶体计算出3N个简正频率往往是十分复杂的。在一般讨论时常采用这样两个模型：爱因斯坦(Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型。二、计算晶格热容CV的理论模型Ⅰ.Einstein模型模型要点：（1）认为晶体中所有原子都以相同的频率振动，设为ω0，即忽略了色散关系的存在。（2）晶格振动能量是量子化的。体系规定：N个原子组成，共有3N个频率为ω0的振动。Einstein模型的计算前面的结论有：则：Einstein模型的计算Einstein模型的讨论（１

5、）高温情况（Ｔ>>θE):所以，Einstein模型的讨论（2）低温情况（Ｔ<<θE):结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；(2)T处于低温段时，实验值与理论不符；实验结论：CV（低温）～T3Einstein模型的评价前提假设过于简单Einstein把固体中各原子的振动看成是相互独立的，因而体系的3N个振动频率是相同的。实际上，（1）固体中原子之间存在着很强的相互作用，一个原子不可能孤立地振动，而不牵连邻近原子。（2）晶格振动产生的格波频率值是不完全相同的，而是有一定的分布情况。Debye模型在处理晶格振动时考虑到了频

6、率分布问题，即对晶格采取一个很简单的近似模型（把晶格当作弹性介质来处理的），得到近似的频率分布函数。Einstein理论与实验比较图圆点为金刚石实验值，温度以θE=ω0/ħ为单位。Ⅱ.P.Debye模型模型要点：（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω(q);（2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一支纵波，其色散关系分别为：ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。体系规定：N个原子组成，共有3N个晶格振动模。Ⅱ.Debye模型(一)Debye模型的理论计算1、频率分布函数g

7、(ω)及gD(ω)；2、晶格平均能量；3、晶格比热容CV。(二)Debye模型的讨论1、高温情况；2、低温情况；3、评价。(一)Debye模型的理论计算1、频率分布函数g(ω)定义：把单位频率间隔内的振动模式数或状态数称为振动的频率分布函数或振动模的态密度函数，又称为模密度或状态密度，记作g(ω)。若用dn表示ω到ω+dω范围内的模式数，则有：Debye模型的频率分布函数gD(ω)N个原子体系的色散关系：Debye模型将晶体作为弹性连续介质处理，其频率分布函数即为弹性波的频率分布函数。公式：Debye模型的频率分布函数gD(ω)对于

8、纵波：ω=Clq其等值面为一球面，设q到q+dq范围内的模式总数为dnl，q空间的q的分布密度为则：又由于：所以：Debye模型的频率分布函数gD(ω)对于纵波：ω=Clq同理，对于横波：ω=Ctq2、晶格平均能量公式：★确定积分上下