§10 辐射的量子理论

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1、10辐射的量子理论讨论量子化电磁场与原子中电子的相互作用这是电磁场与物质相互作用的基本问题用二次量子化理论方法光的发射与吸收10.1电磁场与电子相互作用系统的哈密顿算符一次量子化时电子与电磁场的相互作用系统的哈密顿算符2∧1∧eH=p−A(x,t)+V(x)2mc10.1.1其中V(x)为原子中的库仑场A(x,t)为电磁场的矢势并有∇•A=010.1.2利用横波条件1∧e21∧2e∧e2p−A=p−A•p+A•A22mc2mmc2mc10.1.3)在电子态ψ(x,t)中2∧1∧e∗H=∫ψ(x,t)p

2、−A+V(x)ψ(x,t)dx2mc10.1.4)电子和电磁场系统的总能量由(10.1.4)式与自由电磁场的能量项R1[]22H=E(x,t)+B(x,t)dx0∫8π211∂A2=+()∇×Adx∫28πc∂t10.1.5)组成∗二次量子化系统的哈密顿算符波函数ψ(x,t)和ψ(x,t)以及A都变成算符二次量子化系统的哈密顿算符可表为H=H+H+H10.1.6)012(e)其中H0包括原子中电子的哈密顿算符H0和自由电磁场的哈密顿R(e)算符H(即10.1.5式)两部分而为H002(e)+

3、η2H=∫ψ(x,t)−∇+V(x)ψ(x,t)dx02m10.1.7)相互作用哈密顿算符+eH1=∫ψ(x,t)−A•Pψ(x,t)dxmc10.1.8)2+e2H2=∫ψ(x,t)Aψ(x,t)dx(10.1.9)2mc1ik⋅x下面取平面波态e作为基矢展开量子化电磁场的场算符A(x,t)V再取单粒子薛定鄂方程2η2−∇+V(x)ϕ=Eϕµµµ2m10.1.10)+的解ϕµ作为基矢展开电子波场算符ψ(x,t)和ψ(x,t)对于原子中的电子来说势场是库仑势10.1.10)式可严格求解而下标

4、µ应理解为一组量子数集如nlm或s场算符的展开式是12212πηcik⋅x+−ik⋅x(10.1.11)A(x,t)=∑ελ[ckλe+ckλe]Vkλωk(10.1.12)ψ(x,t)=∑aµ(t)ϕµµ++*(10.1.13)ψ(x,t)=∑a(t)ϕµ(x)µ将它们代入(10.1.5)(10.1.7)(10.1.8)可得++(10.1.14)H0=∑Eµaµaµ+∑ηωkckλckλµkλ+i(Eµ−Eν−ηωk)t/ηH1=η∑[gµνkλaµaνckλeµνkλ(10.1.15)++−i(Eµ−Eν−ηωk)t

5、/η+gaaceµν−kλνµkλ其中e2π*ik⋅xg=−ϕe[ε⋅pϕ(x)]dxµνkλ∫µλνmVηωke2πik⋅x=−ϕeε⋅pϕ10.1.16)µλνmVηωk其中p=η−i∇在写出(10.1.14)和(10.1.15)式时应用了自由场算符随时间的指数函数关系故(10.1.15)式给出的也就是相互作用哈密顿算符在相互作用会景中的形式若将(10.1.16)式作一次分部积分并利用横波条件ε⋅k=0λ*+和ελ=ελ(ΘA=A)可证明*gµνkλ=gµν−kλ(10.1.17)这里暂不考虑相互作用算符中与A2有关的部分因为它对一

6、级近似中的电子发射或吸收一个光子的过程没有贡献10.2自发辐射自发辐射电子受电子场—电磁场相互作用而自发辐射光子的过程在一次量子化理论中由于能级的稳定性自发辐射是不可能发生的完整的光发射和吸收理论要借助二次量子化方法讨论自发辐射的方法由自发辐射定义知电子自发辐射光子是电子受到电子场与电磁场相互作用的影响而发生电子场与电磁场相互作用对电子的影响可看成一种微扰可用微扰方法讨论自发辐射相互作用绘景态矢量随时间的变化∂∧iηΦ(t)=HIΦ(t)(10.2.1)∂t∧HI为相互作用哈密顿算符(10.2.1)式可用迭代法求解结果为1t∧Φ(t)=

7、Φ(0)+dtHI(t)Φ(0)∫11iη01tt∧∧2+dtdtHI(t)HI(t)Φ(0)+Λ2∫02∫0121(iη)(10.2.2)若取(10.2.2)前两项称一级玻恩近似自发辐射一级玻恩近似解释相互作用使初态i演化为1tΦ=1+dtH1(t)i(10.2.3)∫01iη在此态中出现态f的概率振幅为1tc=fΦ=fdtH(t)i(10.2.4)fi∫111iη0于是由i跃迁到f的跃迁速率是d2w=c(10.2.5)fifidt跃迁速率是一个很重要的描写跃迁过程的物理量由它可以算出许多可以直接实验测量的量如激发态的寿命

8、光谱线的强度散射截面等设初态中有一个i态电子自发辐射动量为k极化为ελ的光子而跃迁为f态电子于是+++i=a0f=ca0(10.2.6)ikλf考虑H1中光子消灭算符ckλ对跃迁贡献为零跃迁矩阵元可表为fH