精品]§113量子跃迁理论与不含时微扰论的关系

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1、§11.3量子跃迁理论与不含时微扰论的关系一、不含时微扰论所处理的两类问题上学期我们学习了微扰论。仔细分析一下，发现这种微扰论实际上处理两类问题1.纯粹是求能量本征值问题的一种技巧即人为地把分成两部分，，其中的本征值问题已有解或容易求解。然后逐级把的影响考虑进去，以求得的更为精确的解HˆHˆ例如，Stark效应、Zeeman效应等。在此过程中，实际上是随时间变化的。但人们通常仍用不含时微扰论，即定态微扰论来处理。2.真正加上了某种外界微扰这样做是否合理？我们分析一下。式中参数表征微扰加进来的快慢。表示微扰无限缓慢地引进来。的变化如右图所示：设1)长

2、时微扰设时体系处于的非简并态，按微扰论一级近似公式时刻体系跃迁到态的波幅为利用初始条件来自及前面所给公式上式右边第一项是的非简并本征态，第二项正是微扰带来的一级近似修正。此式正好是定态微扰论中的一个本征态。但这种微扰是“绝热地”引进来的，即微扰时间参数比所处理体系的特征时间长得多.或者说，体系有足够的时间调整自己的状态来应对外界的微扰。所以可以用定态微扰论来处理。可以求出准确到一级近似下的波函数上次课复习对含时Hamilton体系，有则含时微扰论的一级近似解为主要学习了含时微扰论:有简并的情况下跃迁几率为通过与含时微扰论比较，发现非含时微扰论主要处

3、理两类问题：1）纯粹是求能量本征值问题的一种技巧2）真正加上了某种外界微扰而当这种微扰是缓慢地、绝热地加进来时，可以用定态微扰论来代替含时微扰论但当这种微扰是常微扰，且持续有限时间时，即有限常微扰时，如何处理?2)有限常微扰即常微扰只在一定时间间隔中起作用。设其中为阶梯函数，定义为如右图。则在时刻，微扰导致的体系从态到态的跃迁振幅的一级近似为分部积分，得当t>T后,上式右边第一项为0，利用公式及第二项化为下式因此，跃迁几率为下面我们利用上述结论来讨论散射问题中的一个重要公式而随变化的曲线如下图所示：二、Fermi黄金规则对公式当微扰作用的时间间隔T

4、足够长时，只在的一个窄范围中不为0。见右图。1.跃迁速率利用公式则有因此，当时，而单位时间的跃迁几率（跃迁速率）为从公式中可以看出：①如常微扰只在起作用，则只要足够长（远大于体系的特征时间），则跃迁速率与时间无关；②只有当末态能量和初态能量相近的情况下，才有可观的跃迁发生。而恰是常微扰作用下体系能量守恒的反映。﹟2.黄金规则前面我们讲过，一级微扰论成立的条件是：跃迁几率很小，体系有很大几率仍停留在初始状态。但在公式中出现了函数，与有关。此时一级微扰论还成立吗？解释：δ函数出现上述公式中只有当能量连续变化的情况下才有意义。此时我们对所有能量积分时，δ

5、函数就被积分掉，不存在∞问题了。设表示体系的末态的态密度，即在范围中的末态数为。因此，从初态到附近一系列可能末态的跃迁速率之和（求积分）为上式应用很广，非常有价值，故人们习惯称之为Fermi黄金规则(goldenrole).物理含义容易理解：跃迁速率与能态密度成正比，与跃迁矩阵元的平方成正比。利用公式下面看Fermi黄金规则在实际问题中的应用。3.黄金规则的应用----弹性散射前面我们学习过，对于一维入射粒子，碰到势垒后会发生反射和透射，而且反射和透射系数定义为对于三维粒子，入射粒子沿确定方向入射，动量为（取为轴方向）。在受到靶子作用（视为微扰）后

6、，可以沿不同方向出射，相应的几率也与出射方向有关。或者说，出射粒子有一个角分布，见下图：设出射粒子的动量为，与入射粒子动量方向夹角为。对于弹性散射，。采用平面波近似，入射波表为利用流密度公式可以算出入射流密度为出射波表为这样令表示动量转移，则式中是的Fourier变换。设沿角方向的立体角中出射粒子的末态密度为，则能量在范围内的末量子态数为其中：相空间中的一个体积元相当于一个量子态在相对论和非相对论条件下，都可以证明：v是粒子的速度.下面举例证明相对论的情况.所以故在相对论情况下，因为将上式及代入黄金规则公式得到沿角方向的立体角中出射的速率为得因此由

7、定义散射截面：及将代入上式，得对于非相对论粒子，则这就是粒子与靶碰撞的散射截面，反映了散射后粒子的空间分布几率。﹟作业：P3414Heisenberg测不准关系：一定程度反映经典和微观粒子描述的关系。一个问题：电子分别处在基态和激发态，哪一种状态更稳定或寿命较长？讨论另一种测不准关系§11.4能量与时间测不准关系一、两个特例例1设粒子初始状态为和是粒子的两个能量本征态，本征值分别为和，则有非定态在此态下，各力学量的几率分布要随时间改变。比如粒子的空间几率分布其中可将视为测量体系能量时出现的不确定度。由可知，随时间呈周期性变化,其周期为动量及其它力学

8、量的几率分布也有同样的变化周期.故此周期T是表征体系性质变化快慢的特征时间，记为由有对定态来说，能量是完全确定的，即定态的