chapt9含时间的微扰论-量子跃迁

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1、06-07级量子力学专题讲座“谈谈量子群和量子代数”宋行长教授12月21日（星期四）7:00p.m.理教207第二十七讲Ⅰ.定态微扰论（3）简并能级的微扰论A．零级波函数和能量的一级修正fl∑(Hϕ(0)ˆϕ−δ(0)E)(1)a0(0)=lm1lklmklkk1=(H)ˆ−E(1)δ=01mklmk由这可解得(1)En=1,2,Lfllnn(0)代回方程可得alk，即相应于一级能量修正(1)Eln的零级波函数为(0)(0)n(0)(0)(1)ψ=ϕln∑lkalk（准至一级EEll+n）k(1)对于Eln（n=1,2,Lfl）

2、能量不同的态，an(0)(1)(1)lk可唯一地被确定，而Eln中有相等的Elni的态，其零级波函数仍不能唯一地确定。当然，这样一些波函数可经线性组合成为正交归一的波函数（但应注意，从这些态出发的微扰仍应由线性组合出发，不能单从一个态出发）。(0)ψln的性质：(0)1.新的零级波函数ψln之间是正交的。(0)(0)(ψln,ψln′)=δnn′(0)2．Hˆ1在ψln子空间中是对角的。ψ()00HEˆψ=δ()()1ln1ln′lnnn′B．简并能级下的一级微扰：选定了正确的零级波函数后，对于()11()EEln≠ln′n′≠

3、n(0)所相应的波函数ψln作微扰出发点，就可以当作非简并态进行微扰处理。ψ(0)()11()现讨论ln（EEln≠ln′对所有n′≠n）,EH()100=ψ()ˆψ()lnln1lnϕψ()00Hˆ()n()1l"1lna=l"l()00()EE−ll"ψϕϕψ()00HHˆˆ()()00()()11ln′11l'l'lna'nn′=()11()∑()00()EEln−−ln′l'EEll'()10()n()10()()1ψ=ϕln∑'al′ll′′+ψ∑'alnnn′ln′′()01()ψ=ψ+ψlnln例:在均匀外电场中，

4、氢原子能级的变化（斯塔克效应）考虑氢原子在外电场中的情况（ε在z方向，忽略l⋅s，即不考虑自旋）2′2h2eHˆ=−∇−+eεz=Hˆ0+Hˆ12μr其中Hˆ1=eεz我们讨论氢原子状态n=2的能级，因它是四重简并ϕ2lm，即ϕ200ϕ210ϕ21−1ϕ211∑[(H)ˆ−E()10δ=]a()01ijijjj()1()0⎛⎞−−Ea300eε⎛⎞a01⎜⎟()1⎜⎟()0−ε−30aeE0⎜⎟a⎜⎟02=0⎜⎟−()1⎜⎟()000E0a3⎜⎟⎜⎟()1()0⎝⎠000−E⎝⎠a4有解(0)1aa()00=()Ea()1=−ε

5、3eΨ=(φ+φ)121212200210()00()aa==034(0)1aa()00=−()()1Ψ=−12Ea2=3eε22(φ200φ210)()00()2aa==034()00()()1(0)aa12==0E3=0ψ23=φ21−1a,()00=10a()=34()00()aa==0(0)12E()1=0ψ=φ211()00()24a,=01a=434C．简并态的二级微扰2ϕψ()00Hˆ()()2l'1lnE'ln=∑()00()l'EEll−'(0)(1)=ψHˆψln1lnD.进一步讨论1．一级微扰仅部分解除简并

6、的讨论但当一级微扰并未把简并完全解除。如氢原子置于均匀电场中，对n=2能级就是这种情况(0)(0)ψ=ϕψ=ϕ2421123211−(1)(1)EE0==34假设(0)(0)(0)E(0)ψψLψll1l2lfl(1)(1)(1)El1El2LElfl(1)(1)若其中EElk=lk，而我们正是要处理这二12(0)(0)个仍简并的态(ψlk,ψlk)时，则零级波函数应l2取2(0)(0)k(0)Ψlk=∑ψlkaiii=12⎛⎞ψϕϕψ(0)HHˆˆ(0)(0)(0)lk1l'l'1lk⎜⎟ij−(2)δ=k(0)∑∑'E(0)

7、(0)lkijaj0j1=⎜⎟l'EEll−'⎝⎠i=1,2ψϕ(0)HHˆˆ(0)ϕΨ(0)(0)lk1l'l'1lkij(2)∑'E(0)(0)−lkδ=ij0l'EEll−'i=1,2(2)E(2)≠E(2)由这解出Elki。若lk1lk2，则可唯一地(0)(0)确定简并态(ψ,ψ)的零级波函数。lkllk2由这样求出的(2)才是正确的能量二级修Elki正及零级波函数。2.简并态可用非简并微扰处理的条件若[H,A][H,A]0ˆˆˆˆ==01则可选(H,A)0的共同本征态(0)ϕln为零级波函数。ϕ0ϕ0=≠′l′l'n'

8、Hˆ1ln0nn（任意）(0)这时简并态ϕ（n′≠n）对ϕ(0)没有影ln′ln响。因此，可用非简并微扰方法处理。在处理简并能级微扰时选取正确的零级波函数和判断能否用非简并微扰论去求解是特别要仔细的9.89.9Ⅱ.变分法：定态微扰论有效，是必须找到Hˆ=Hˆ+ˆ