ch3-8 晶体热容的量子理论

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1、HUBEIUNIVERSITY固体物理学SolidStatePhysics李岳彬E-mail:ybli@hubu.edu.cn湖北大学物理学与电子技术学院14-Nov-12Ch3.8晶体热容的量子理论一、晶格热容理论（C）；V二、晶格热容C计算模型；V–Ⅰ.爱因斯坦(Einstein)模型；–Ⅱ.德拜(P.Debye)模型。Ch3.8晶体热容的量子理论2一、晶格热容理论（C）V固体的热容量是原子振动在宏观性质上的一个最直接的表现。固体中的热容一般指定容比热容C，在热力学中，VE固体的定容热容C()VVT—固体的平均内能固体热容主要来自两部分贡献一是来源于晶格热振动，称为晶格热容；

2、是晶格热容的主要贡献，是本节的主要讨论内容；一是来源于电子热运动，称电子热容；一般贡献很小，除非在很低温度情况下。Ch3.8晶体热容的量子理论33实验结果：低温下，金属的热容CTATVT——电子对比热的贡献电子热容3AT——晶格振动对比热的贡献晶格热容——温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献，是本节的主要讨论内容求解C的一般方法V固体中的热容一般指定容比热容C，在热力学中，VEC()其中，是指固体的平均内能。EVVT第一步：写出E的表达式；第二步：代入公式计算C。VCh3.8晶体热容的量子理论4杜隆——珀替定律根据经典统计理论的能量均分定理，每个简谐振动的平均能量为k

3、T，k是玻耳兹曼常数。设体系有N个原子，则有3NBB个简谐振动模式，则总的平均能量为：E3NkTBE则晶格热容为：C()3NkVVBT表明：晶格热容是一个与温度6和材料性质无关的常数。这条5规律在高温时，与实验符合得4很好，但在低温时，热容不再3Cp(J/mol.K)保持为常数，而是随T下降而2很快趋于0。如图“低温下晶10格比热下降”所示。0100200300T(K)P图3-20低温下晶格比热下降123为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克量子假说，第一次提出了量子热容量理论。Ch3.8晶体热容的量子理论5量子热容理论（1）晶体平均能量EN1EU(nj)jj1

4、21）U表示原子静止在平衡位置时的晶体能量；2）后一项是晶格振动能量，其中n是一个振动模式的平j均声子数。（2）一个简谐振动（频率为ω）对C的贡献jV1简谐振动的能量本征值为：Ej(nj)j2njjkBT其统计平均能量为：njje1njEj(T)jnjj2ekBTnj……注：P123（3-121）式Ch3.8晶体热容的量子理论6njjkBTnjje1n………P123（3-121）式E(T)jjjnjj2kBTenj1令,则:njjkBTnjje1njEj(T)2jnjjenj1nj

5、jEj(T)jlne2njCh3.8晶体热容的量子理论71njjETj()jlne2njnjj1其中,ejn1e11jln2j1jej1je1jEj(T)jjjj21e2e1jj2kBT()ejdEj(T)kBTC()kVdTVBjkBT2(e1)一个简谐振动（频率为ω）对C的贡献jVCh3.8晶体热容的量子理论8（3）晶格总热容设晶体中包括N个原子，共有3N个简谐振动模式，则3N1jE(T)Ej(T)Ej(

6、T)jjj其中2e13NjdEj(T)jC()CVCVVdTVjj可见，CCjVV但是，对于具体晶体计算出3N个简正频率往往是十分复杂的。在一般讨论时常采用这样两个模型：爱因斯坦(Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型。Ch3.8晶体热容的量子理论9二、计算晶格热容C的理论模型VⅠ.Einstein模型模型要点：（1）认为晶体中所有原子都以相同的频率振动，设为ω，0即忽略了色散关系的存在。（2）晶格振动能量是量子化的。体系规定：N个原子组成，共有3N个频率为ω的振动。0Ch3.8晶体热容的量子理论10Einstein模型的计算前

7、面的结论有：j0(j)2ekBT(0)2ekBTjdEj(T)kBTkBTC()kkVdTVBjB0(ekBT1)2(ekBT1)2则：002kBT()e3NjkBTCVCV3NkB0jkBT2(e1)Ch3.8晶体热容的量子理论11Einstein模型的计算002kBT()ekTC3NkBVB0kBT2(e1)令00(,称爱因斯坦温度），则EEkkTTBB